정상상태

정상상태란 어떤 물리량이 시간에 따라 변하지 않고 꾸준히 같은 값이 유지되는 상태를 의미한다.

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어떤 상태를 기술할 수 있는 물리량이 시간에 따라 변하지 않고 꾸준히 같은 값으로 유지될 때 그 상태를 정상상태라 부른다. 예를 들어 강물이 불어나거나 줄어들지 않고 꾸준히 같은 양으로 흐르는 경우 주어진 구간을 지나는 물의 양은 일정하므로, 강물의 흐름은 정상상태에 있다고 말할 수 있다. 또한 일반적으로 입자의 존재를 기술하는 물질파의 경우 파동함수의 위상이 시간에 따라 변하기는 하나 진폭은 일정하게 유지되므로, 정상상태에 있다고 할 수 있다. 마찬가지로, 외부 교류 전원이 연결된 교류회로에 흐르는 전류의 최댓값이 시간이 지나도 변하지 않을 때, 교류가 정상상태에 있다고 말한다. 정상상태는 정적인 평형상태를 의미하는 것은 아니며, 끊임없이 유입과 유출이 평형을 이루는 동적 평형상태를 의미한다. 평형에 이르기 전의 일시적(transient) 상태와 반대되는 개념으로 사용되는 용어이다. 정상전류는 크기가 일정한 직류를 의미하므로, 정상상태의 전류가 정상전류는 아니다.

물질의 존재를 물질파의 개념을 이용하여 다루는 양자역학에서는, 주어진 환경, 즉 퍼텐셜에 대하여 고유상태를 이루는 어떤 에너지가 연속적인 값을 갖지 않고 이산적으로 존재하는데, 이를 에너지 양자화라고 한다. 각각의 에너지 @@NAMATH_INLINE@@E_n@@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@은 보통 0 이상의 자연수)에 대응하는 파동함수 @@NAMATH_INLINE@@\psi_n@@NAMATH_INLINE@@이 존재하는데, 고유상태의 파동함수는 시간에 따라, 주어진 위치 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@, 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@에 대하여 다음과 같은 형태로 나타난다. @@NAMATH_DISPLAY@@\psi_n(\mathbf{r},t)=\psi_n(\mathbf{r},t=0) e^{-i E_n t / \hbar}@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 1) 의 관계식이 성립한다. 이때, @@NAMATH_INLINE@@\hbar@@NAMATH_INLINE@@는 플랑크상수 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@를 @@NAMATH_INLINE@@2\pi@@NAMATH_INLINE@@로 나눈 값, @@NAMATH_INLINE@@1.054\times 10^{-34}@@NAMATH_INLINE@@ J/s이다. 위상만 변할 뿐 진폭은 바뀌지 않으므로, 고유상태의 파동함수는 정상상태에 있음을 알 수 있다.

용수철이나 회로 등 진동 운동을 물리계 중에서 정상상태와 일시적 상태가 함께 나타날 수는 있는 경우로, 강제진동하는 계를 꼽을 수 있다. 외부에서 끊임없이 힘이나 전압 등이 작용하면 물리계는 결국, 그 계의 고유 특성보다는 외부 요인에 의해 지배되어, 외부 요인의 시간적 변화와 같은 진동수로 진동하는 정상상태에 이르게 된다.

그림 1. 교류 전원에 연결된 RLC 직렬 공진회로 (출처:한국물리학회)

강제진동 계의 한 예로 직렬 RLC 회로를 들어보자. RLC 회로에 흐르는 교류의 시간에 따른 변화는 키르히호프 법칙을 기술한 미분방정식을 풀어서 유도할 수 있다. 그림 1처럼 축전기 전기용량 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@, 코일 자체인덕턴스 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@, 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@의 직렬회로 전체에 흐르는 전류를 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@, 축전기에 저장된 전하량을 @@NAMATH_INLINE@@Q(t)@@NAMATH_INLINE@@, 교류전압을 @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@라고 하자. @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@는 사인파 형태 또는 복소수 표현인 @@NAMATH_INLINE@@V(t)=V_0 e^{i\omega_f t}@@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@i=\sqrt{-1}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@: 시간, @@NAMATH_INLINE@@\omega_f@@NAMATH_INLINE@@: 강제진동 각진동수) 로 나타낼 수 있고, 이 직렬회로에서의 전압 강하를 기술한 식은 식 2와 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{Q\over C} +R{dQ\over{dt}} +L{{d^2Q}\over{dt^2}} = V_0 e^{i \omega_f t} @@NAMATH_DISPLAY@@ (식 2)

이러한 시간에 대한 이차 미분방정식의 해는 특별해(particular solution)와 일반해(general solution)의 합으로 나타나는데, 특별해는 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@에 의하여 전류의 진폭이 차츰 감쇠하는 감쇠진동의 형태를 가지며, 일반해는 외부 교류전압에 의해 지속적으로 강제진동하는 형태를 갖는다. 이 강제진동의 일반해 부분이 교류의 정상상태를 보여준다. 사인파 형태의 감쇠진동과, 진폭의 감쇠가 없는 조화진동의 형태를 그림 2에 나타내었다. 이 중 감쇠진동은, 회로의 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@의 값과 배치에 의해 결정되는 고유 진동수로 진동하는 것으로, 시간이 충분히 흐른 뒤에는 소멸하는 일시적 상태일 뿐이다. 반대로 조화진동은, 회로의 고유 진동수와는 관계없이, 외부 전원의 진동수로 진동하며 전원이 끊임없이 진동하면 정상상태가 된다.

그림 2. 감쇠진동과 조화진동 (출처:한국물리학회)

충분한 시간이 흐른 뒤 가능한 해는 @@NAMATH_INLINE@@{Q(t) = A e^{i(\omega t +\phi)}} @@NAMATH_INLINE@@ 의 정상상태 형태를 갖게 되는데, 이를 위 식에 대입하면, @@NAMATH_DISPLAY@@(-\omega^2 L+i \omega R+{1\over C}) A e^{i(\omega t +\phi)} = V_0 e^{i\omega_f t} @@NAMATH_DISPLAY@@ 가 되어, 해는 @@NAMATH_INLINE@@\omega=\omega_f@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@ Ae^{i\phi}={V_0 \over{-\omega^2 L+i \omega R + 1/C}}@@NAMATH_INLINE@@임을 알 수 있다. 그러므로, 전류는 @@NAMATH_INLINE@@I(t)= dQ/dt = i\omega Q(t)={V_0 \over{R+ i (\omega L-{1\over{\omega C}})}} e^{i \omega t}@@NAMATH_INLINE@@가 된다.

회로 내 발진기에 의해 교류가 발생하는 경우에도, 발진기 작동 초기를 제외하면 일정한 진폭의 교류가 생성되며, 이를 정상상태에 이르렀다고 말할 수 있다. 그림 3은 발진기에 의한 교류를 시간에 대한 함수로 보여준다.

그림 3. 발진회로에서의 교류의 정상상태 (출처:한국물리학회)