교류회로

교류가 흐르고 있는 전기 회로를 뜻한다.

목차

교류회로란 문자 그대로 교류가 흐르는 전기 회로를 뜻한다. 교류가 흐르려면 반드시 교류전압의 전원이 필요하다. 회로의 여러 가지 구성 요소, 예를 들면 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@, 축전기 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@, 및 코일 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@ 등이 직렬 또는 병렬로 연결된 회로에 교류 @@NAMATH_INLINE@@I(t)=I(0) \cos \omega t @@NAMATH_INLINE@@ 또는 복소수 표현으로 @@NAMATH_INLINE@@I(t)=I(0) e^{i\omega t} @@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@i=\sqrt{-1}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@는 각진동수, @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@는 시간)가 부여되어 회로에 전류가 흐르게 된다. 각 구성 요소의 존재 유무에 따라 LC 회로, RLC 회로, LR 회로 등으로 부를 수 있으며, 전기진동, 전기공진 등의 다양한 전기역학적 특성이 나타날 수 있다. 그림 1은 교류전압이 연결된 직렬 RLC 회로를 보여준다. 교류회로는 구성 요소의 조합에 따라 다양한 시간 변화를 보여주는데, 키르히호프의 법칙을 따라 세울 수 있는 미분방정식의 해를 통해 회로 안의 각 지점에서의 전위와 전류의 시간에 따른 변화를 해석적으로 이해할 수 있다.

그림 1. 교류전압과 저항, 축전기, 코일이 직렬 연결된 교류회로의 한 예.

교류전원을 제외하고 교류회로의 기본적 구성 요소인 저항, 코일, 그리고 축전기의 특징을 살펴보면 다음과 같다. 저항은 도선을 통한 자유전자의 흐름을 방해하는 요소로써, 옴의 법칙을 따르는 경우, 저항@@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@을 통해 흐르는 전류값 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@에 반비례한다. 즉, 주어진 전위차 @@NAMATH_INLINE@@V_R@@NAMATH_INLINE@@에 대하여, @@NAMATH_INLINE@@{V_R}(t)= I(t)\cdot R@@NAMATH_INLINE@@의 관계식이 성립한다. 코일은 전류의 변화를 방해하는 요소로써, 전류가 유입되는 반대 방향으로 기전력이 생기는 자체유도현상이 발생한다. 자체인덕턴스값을 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@이라 하면, @@NAMATH_INLINE@@{V_L}(t)=L{{dI(t)}\over{dt}}@@NAMATH_INLINE@@의 관계식이 성립한다. 그리고 축전기는 그 주변으로 전하량 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@의 축적을 이끄는 요소로써 축전기 전기용량이 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@일 때, @@NAMATH_INLINE@@{V_C}(t)={Q(t)\over{C}}={{1\over{C}} \int{I(t) dt}}@@NAMATH_INLINE@@의 관계식이 성립한다. 저항, 코일, 그리고 축전기의 기호와 전압 강하를 그림 2에 나타내었다.

그림 2. 저항, 축전기, 코일의 기호와 각각의 전압 강하

저항, 코일, 그리고 축전기에 의한 전체 전압 강하 @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@는, 모두 주기가 같은 교류 형태이기는 하나, 각기 위상이 달라서 단순히 세 전압 강하 크기의 합이 아니다. 저항의 경우 @@NAMATH_INLINE@@{V_R}(t)= R\cdot I(0) e^{i\omega t}@@NAMATH_INLINE@@이므로 전위차와 전류는 위상이 같다. 반면, 코일의 경우는,

@@NAMATH_DISPLAY@@{{V_L}(t)}={L{{dI(t)}\over{dt}}}={{i \omega L}\cdot{I(0) e^{i\omega t}}} = {\omega L}{I(0) e^{i(\omega t + \pi/2)}} \qquad (1)@@NAMATH_DISPLAY@@

이므로, 코일의 위상은 전류보다 @@NAMATH_INLINE@@\pi/2@@NAMATH_INLINE@@만큼 앞서 나간다. 또한 축전기의 경우는, @@NAMATH_DISPLAY@@{V_C}(t)={{1\over{C}} \int{I(t) dt}}={{1\over{i \omega C}}{I(0) e^{i\omega t}}}={{1\over{\omega C}}{I(0) e^{i(\omega t - \pi/2 )}}}\qquad (2)@@NAMATH_DISPLAY@@

이므로, 축전기의 위상은 전류보다 @@NAMATH_INLINE@@\pi/2@@NAMATH_INLINE@@만큼 뒤처진다. 그러므로 그림 1과 같은 직렬RLC 회로에서의 전체 전압 강하는 이 세 전위차의 합으로서 새로운 위상을 가진 교류전압이 된다. 그림 3에 @@NAMATH_INLINE@@V_L (t)@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@V_R (t)@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@V_C (t)@@NAMATH_INLINE@@, 그리고 전체 전압 강하 @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@의 한 예를 나타내었다. 임의의 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@에 대하여 각각의 진폭 및 @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@의 위상은 그림 3에서 달라질 수 있으나, 주기와 @@NAMATH_INLINE@@V_R (t)-V_C (t)@@NAMATH_INLINE@@간 그리고 @@NAMATH_INLINE@@V_R (t)-V_L (t)@@NAMATH_INLINE@@간 위상차는 항상 그림 3과 같다.

그림 3. 저항, 축전기, 코일에서의 순간 전압 강하(각각 @@NAMATH_INLINE@@V_R@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@V_C@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@V_L@@NAMATH_INLINE@@)와 전체 전압 강하(@@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@)의 시간(@@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@)에 따른 변화

복잡한 조화진동의 합을 이해하기 위해, 순간 전위차와 순간 전류값을 복소수 표현으로 써서 복소평면에 그릴 수 있다. 복소수의 실수값을 가로축 좌표로 허수값을 세로축 좌표로 하면 2차원 평면상의 벡터와 동등하며, 이 벡터 성분을 위상자 (phasor)라고 부르기도 한다. 복소평면 상의 위상자 개념을 이용하면 키르히호프의 법칙을 적용하여 생기는 복잡한 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 저항, 코일, 그리고 축전기의 위상자를 생각하면 그림 4와 같이 나타낼 수 있다. 직렬회로에서의 순간 전류는 모든 소자 위치에서 같으므로, 순간 전류 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@에 대한 상대적 위상차가 중요하다.

그림 4. 위상자 공간에서의 저항, 축전기, 코일에서의 전압 강하

먼저 저항의 경우, @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@이 스칼라이므로, @@NAMATH_INLINE@@V_R = I \cdot R@@NAMATH_INLINE@@의 위상자는 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@의 위상자와 평행하다. 반면 코일의 위상자는 전류의 위상자보다 시계 반대 방향으로 90도 만큼 더 돌아가고, 반대로 축전기의 위상자는 전류의 위상자보다 시계 방향으로 90도 만큼 더 돌아간다. 그림 1과 같은 직렬 RLC 회로에서의 전체 전압 강하는 세 위상자의 벡터 합으로서 다음 식 3과 같이 크기를 구할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@|V(t)|= \sqrt{{V_R}^2+{({V_L}-{V_C})}^2} = |I(t)| \sqrt{R^2 +({\omega L}-{1\over{\omega C}})^2}\qquad (3)@@NAMATH_DISPLAY@@

이 때 식 3의 끝부분에서 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@를 제외한 부분은 마치 일종의 저항처럼 작용하는 것으로 보이고, 이것을 교류회로의 임피던스라고 부른다. 교류전압의 전원을 인가하면 공진회로가 되는데, 이 임피던스의 크기가 공진의 크기를 결정된다.

교류회로에서, 순간 전력손실 @@NAMATH_INLINE@@P(t)@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@의 실수부와 @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@의 실수부의 곱으로 표현된다. 따라서 시간에 대한 평균 전력 손실은 식 4와 같이 계산할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@ P= \int{{\rm Re}[I(t)]\cdot{\rm Re}[V(t)] dt}\qquad (4)@@NAMATH_DISPLAY@@

저항의 경우 위상차가 0이므로 식 4는

@@NAMATH_INLINE@@ P= \int{{{I(0)}^2 \cdot R} \cos\omega t \cdot \cos \omega t \, dt} > 0 @@NAMATH_INLINE@@가 되는데, 이것은 저항에 의한 일정량의 전력 손실이 항상 존재한다는 당연한 사실을 확인시켜준다.

그러나 축전기나 코일의 경우 위상차가 @@NAMATH_INLINE@@\pm\pi/2@@NAMATH_INLINE@@이므로, 평균 전력손실은 @@NAMATH_INLINE@@ P\propto \int{ \cos\omega t \cdot \sin \omega t dt} = 0 @@NAMATH_INLINE@@이 된다. 이것은 교류회로에서 축전기의 용량성 리액턴스 (@@NAMATH_INLINE@@1/\omega C@@NAMATH_INLINE@@)나 코일의 유도 리액턴스 (@@NAMATH_INLINE@@\omega L@@NAMATH_INLINE@@)가 비록 일종의 저항처럼 작용하는 것으로 보여도 실제 전력 손실은 없음을 보여준다. 결론적으로 교류회로에서의 전력손실은 순전히 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@에 의한 손실분만 고려하면 된다는 사실을 알 수 있다. 공학에서는 이렇듯 리액턴스에 의한 가상의 전력을 무효전력 (reactive power)라고 부르고, 그 반대로 저항에 의한 전력을 특별히 유효전력 (active power)이라고 부르기도 한다. 일반적으로 여러 소자를 포함하는 교류회로에서는 전력이 @@NAMATH_INLINE@@P={{I(0)\cdot V(0)}\over 2} \cos\theta@@NAMATH_INLINE@@으로 표현되는데, 이 때 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@는 전압과 전류의 위상차에 해당되며 공학에서는 이 @@NAMATH_INLINE@@\cos\theta@@NAMATH_INLINE@@를 특별히 역률 (power factor)이라고 부른다.