감쇠진동

감쇠진동은 마찰력이나 저항과 같은 외력에 의해 진폭이 시간에 따라 감소하는 진동이다.

마찰력이 없는 경우 진동자는 평형 위치 주위에서 일정한 진폭으로 영원히 운동한다. 그러나 현실에서는 용수철에 매달린 물체나 추시계에 감쇠력이 작용하기 때문에 시간이 지나면 멈추게 된다. 코일과 축전기로 이루어진 회로는 전기저항이 0인 경우 마찰력이 없는 진동자와 같은 방정식을 만족한다. 저항을 고려할 경우 속도에 비례하는 마찰력이 있는 것과 수학적으로 동일한 방정식을 따르며 시간에 따라 전류와 전압의 진폭이 줄어들어 결국 전류가 흐르지 않게 된다.

마찰계수의 크기에 따라 저감쇠(underdamping), 임계감쇠(critical damping), 과감쇠(overdamping) 세 가지로 나눌 수 있는데, 그림 1에 그려져 있다.

그림 1. 세 가지 감쇠진동

탄성계수와 마찰계수를 각각 @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@b@@NAMATH_INLINE@@라고 할 때 뉴턴의 운동방정식은 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@m\ddot x + b\dot x + k x = 0 .@@NAMATH_DISPLAY@@이 방정식은 수학적으로 2계 선형 상미분방정식이며 @@NAMATH_INLINE@@e^{\lambda t}@@NAMATH_INLINE@@와 같은 지수함수 꼴로 해가 주어진다. 계산상 편의를 위해 @@NAMATH_INLINE@@b=2\gamma m, k=m\omega_0^2@@NAMATH_INLINE@@라고 놓으면 선형 독립인 두 해는 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@\lambda_{\pm} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} .@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_INLINE@@\gamma<\omega_0@@NAMATH_INLINE@@인 경우가 저감쇠(underdamping)이다. 이 때 해가 복소수가 되어 삼각함수 부분을 포함하게 되고 @@NAMATH_INLINE@@\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}@@NAMATH_INLINE@@로 정의할 때 일반해는 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@x = e^{-\gamma t} \left( c_1 \cos(\omega_1 t) +c_2 \sin(\omega_1 t) \right) .@@NAMATH_DISPLAY@@여기서 @@NAMATH_INLINE@@c_1@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@c_2@@NAMATH_INLINE@@는 상수이다. 반대로 @@NAMATH_INLINE@@\gamma>\omega_0@@NAMATH_INLINE@@인 경우가 과감쇠(overdamping)이다. 이 경우 @@NAMATH_INLINE@@\lambda_{\pm}@@NAMATH_INLINE@@이 모두 음의 실수가 되고 해는 지수함수 형태로 다음과 같이 주어진다. @@NAMATH_DISPLAY@@x = c_1e^{\lambda_+ t} + c_2 e^{\lambda_- t} .@@NAMATH_DISPLAY@@마지막으로 @@NAMATH_INLINE@@\gamma=\omega_0@@NAMATH_INLINE@@인 경우가 임계감쇠(critical damping)이며 @@NAMATH_INLINE@@\lambda@@NAMATH_INLINE@@에 대해서는 중근 @@NAMATH_INLINE@@\lambda_+=\lambda_-=\lambda@@NAMATH_INLINE@@를 갖게 되고 운동방정식의 일반해는 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@x = (c_1 + c_2 t ) e^{\lambda t} .@@NAMATH_DISPLAY@@

그림 1에는 여러 가지 감쇠 진동이 예시되어 있다.