강제진동

강제진동은 외력이 작용하는 조화진동이다. 외력의 진동수가 진동자의 고유 진동수와 같을 경우 공명 현상이 일어난다.

진동자는 변위에 비례하는 복원력의 영향으로 운동하고, 일반적으로 마찰력에 의한 감쇠도 일어난다. 여기에 추가로 외부에서 가해지는 힘의 영향을 받을 때 강제진동이라고 한다. 뉴턴 방정식의 해는 일반적으로 외력이 없을 때의 해인 등차해(complementary solution)와 외력을 고려한 해인 특수해(particular solution)의 합으로 주어진다. 감쇠진동의 경우 시간이 오래 흐르면 등차해는 진폭이 0으로 줄어들고 외력에 의한 해만 남는다. 외력이 시간에 대해 주기함수로 주어진 경우, 특수해의 진폭은 외력의 주기가 진동자의 고유 진동수와 같은 경우 최대가 되는데, 이 경우를 공명이 일어났다고 한다.

복원력, 마찰력, 외력을 함께 고려하는 경우 뉴턴 방정식은 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@m\ddot x + b\dot x + k x = F(t) .@@NAMATH_DISPLAY@@이 미분방정식의 해는 등차해와 특수해의 합으로 주어진다. 등차해란 @@NAMATH_INLINE@@F(t)=0@@NAMATH_INLINE@@인 경우의 해로서 두 개의 선형 독립인 해가 존재한다. @@NAMATH_INLINE@@b\neq 0@@NAMATH_INLINE@@인 경우 감쇠진동이라고 하며 @@NAMATH_INLINE@@b^2-4mk@@NAMATH_INLINE@@의 부호에 따라 저감쇠, 임계감쇠, 과감쇠 세 가지 경우가 있다. 두 등차해를 @@NAMATH_INLINE@@x_1(t),x_2(t)@@NAMATH_INLINE@@라고 하고 특수해를 @@NAMATH_INLINE@@x_p(t)@@NAMATH_INLINE@@라고 하면 운동방정식의 해는 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@x(t) = c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + x_p(t) .@@NAMATH_DISPLAY@@위의 식에서 @@NAMATH_INLINE@@c_1, \ c_2@@NAMATH_INLINE@@는 초기조건에 의해 정해지는 적분상수이다.

흥미로운 경우는 @@NAMATH_INLINE@@F(t)@@NAMATH_INLINE@@가 주기함수, 특히 삼각함수로 주어진 경우이다. @@NAMATH_INLINE@@F(t)=F_0\cos(\omega t)@@NAMATH_INLINE@@라고 하면, @@NAMATH_INLINE@@b=2\gamma m, k=m\omega_0^2@@NAMATH_INLINE@@라고 할 때, 특수해는 다음과 같음을 확인할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@x_p = \frac{F_0}{m\sqrt{4\omega^2\gamma^2+(\omega^2_0-\omega^2)^2}} \cos(\omega t - \phi) ,@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@\tan\phi = \frac{2\omega\gamma}{\omega^2_0-\omega^2} .@@NAMATH_DISPLAY@@등차해는 감쇠진동의 경우 시간이 흐르면 진폭이 0이 되기 때문에, 초기조건에 관계없이 시간이 지나가면 운동은 @@NAMATH_INLINE@@x_p@@NAMATH_INLINE@@로 주어지게 된다.

위 식에서 @@NAMATH_INLINE@@\omega=\omega_0@@NAMATH_INLINE@@, 즉 진동자의 고유 진동수와 외력의 진동수가 같은 경우 진폭이 최대가 되는 것을 알 수 있다. 이것이 공명 조건이다. 가수가 목소리로 유리잔을 깨는 것이 바로 이 원리이다. 유리잔의 고유 진동수, 즉 유리잔이 울릴 때 내는 것과 같은 음을 내면 유리잔이 강제진동하게 되는데 처음에는 진폭이 크지 않더라도 시간이 지나면서 특수해의 모양과 일치하게 되어 큰 진폭을 갖게 되며 유리잔이 지탱할 수 있는 진동이 범위를 넘는 경우 깨지게 된다.