퍼텐셜

퍼텐셜이란 공간에서 그 위치에 따라 값이 정해지는 양을 뜻한다. 퍼텐셜로부터 그 공간의 많은 물리적 성질이나 값들을 도출할 수 있다.

구체적인 예를 들어보면, 물리적 공간의 위치를 변수로 갖는 어떤 스칼라 함수를 생각해보자. 공간 안에 놓여있는 어떤 물체가 위치를 바꿀 때 그 함수 값은 물체의 위치 변화에만 의존하게 된다. 이 때 이 함수를 퍼텐셜이라고 부르고, 특정 방향에 대해 미분하면 그 값이 그 방향에 대해 퍼텐셜이 물체에 미치는 힘이 된다.

위치에 따라 값이 정해지는 대표적인 양에는 퍼텐셜 에너지가 있다. 퍼텐셜에너지는 물리계를 구성하는 물체들의 상대적인 위치에 따라 달라지는 에너지를 말하며, 물체의 위치에 따라 정해지므로 위치 에너지라고도 한다. 즉, 위치에 따라 물체가 갖게 되는 에너지가 높거나 낮게 된다. 구성 물체들 사이에 작용하는 힘이 보존력(conservative force)인 경우 퍼텐셜 또는 퍼텐셜 에너지가 정의될 수 있고, 각 위치에서 퍼텐셜 에너지를 미분하면 그 위치에서 물체가 받는 힘을 구할 수 있다. 즉, 작용하는 힘의 종류에 따라 중력 퍼텐셜에너지, 전기적 퍼텐셜에너지, 탄성 퍼텐셜에너지 등으로 구분된다.

퍼텐셜 에너지를 정량적으로 나타낼 때는 반드시 기준 위치를 정하고 기준 위치에 대해 퍼텐셜 에너지의 차이가 얼마인지를 나타내야 한다. 중력 퍼텐셜의 경우 공간의 한 위치의 중력 퍼텐셜은 단위 질량을 특정 기준점(원점)에서 그 지점까지 옮기는데 드는 일(work)의 양이다. 중력 퍼텐셜이 0인 원점은 임의로 정할 수가 있는데, 관습적으로 어느 물체에서도 멀리 떨어진 아주 먼 곳으로 정한다.

[그림 1]은 어떤 구형 물체에서 거리에 따라 2차원 면에 나타나는 중력 퍼텐셜을 계산하여 시각화한 것이다. z방향이 퍼텐셜의 크기를 나타내고, xy 면이 주어진 2차원 면이다. 그림의 중간 지점에 –z 방향으로 퍼텐셜 값이 가장 크게 나온 부분이 2차원 면에서 물체와 가장 가까운 지점이다.

그림 1. 어떤 구형 물체에서 어느 정도 떨어진 2차원면에서 나타나는 중력 퍼텐셀. ()

중력 포텐셜 V는 그 위치에서의 단위 질량 당 중력 포텐셜 에너지 U 이고, 식으로 쓰면 @@NAMATH_INLINE@@V = \frac{U}{m}@@NAMATH_INLINE@@ 이다. 여기서 m은 물체의 질량이다.

지구 표면에서와 같이 중력장이 위치와 무관하게 일정하다고 가정할 수 있는 경우에는 퍼텐셜 계산이 더 간단해진다. 실제로 지구 표면에서의 중력가속도 g는 상수로 볼 수 있으며, 이 경우 지표면을 기준으로 어떤 물체의 높이가 달라질 때 중력 포텐셜에너지의 차이는 그 높이 변화에 비례하여 @@NAMATH_INLINE@@\Delta U \approx mg \Delta h@@NAMATH_INLINE@@ 로 쓸 수 있다. 여기서 m은 물체의 질량이고 @@NAMATH_INLINE@@\Delta h@@NAMATH_INLINE@@는 높이 차이다.

중력 퍼텐셜에서는 중력을 받는 물체의 운동에 관한 정보를 알아낼 수 있고 전기 퍼텐셜에서는 대전된 입자의 운동에 관한 정보를 알아낼 수 있다. 이 외에도 특정 힘에 대해서 연관된 퍼텐셜들이 존재하는데, 쿨롱 퍼텐셜(Coulomb potential), 판데르발스 퍼텐셜(van der Waals potential), 레나르트-존스 퍼텐셜(Lennard-Jones potential), 유카와 퍼텐셜(Yukawa potential)등이 그 예이다.

그림 2는 원자 사이에 작용하는 힘을 설명하는 1차원 레나르트-존스 퍼텐셜의 그래프인데 다음의 식으료 표현된다. @@NAMATH_DISPLAY@@V =4\epsilon \left\{\left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 \right\}@@NAMATH_DISPLAY@@

그림 2. 1차원 레나르트-존스 퍼텐셜. ()

열역학에서 사용하는 퍼텐셜은 의미가 약간 다른데, 어떤 물리계의 열역학적 상태를 기술하는 상태함수의 일종을 뜻한다. 열역학에서 상태함수는 그 계의 현재 상태만 기술하는 열역학적 양이다. 즉, 상태함수는 그 계가 거쳐 온 경로와는 무관하다. 대표적으로는 내부에너지, 엔탈피, 깁스 자유 에너지, 헬름홀츠 자유 에너지 등이 있다.

전기화학에서 사용되는 퍼텐셜은 전극에 걸린 전압 값을 의미하며, 갈바니 퍼텐셜(Galvani potential), 볼타 퍼텐셜(Volta potential), 전극 퍼텐셜(electrode potential), 기준 전극 퍼텐셜(standard electrode potential) 등을 예로 들 수 있다.

퍼텐셜은 대부분 스칼라 물리량이지만, 벡터 퍼텐셜도 존재한다. 벡터 퍼텐셜의 대표적인 사례로는 맥스웰의 방정식에 나오는 자기장 벡터 퍼텐셜이 있다. 스칼라 퍼텐셜은 그 위치에서 기울기연산(gradient)을 해주면 힘에 대한 벡터 마당(field)을 만들어 주고, 벡터 퍼텐셜의 경우는 그 위치에서 주어진 퍼텐셜 벡터에 회전연산(curl)을 해주면 관련된 벡터 마당을 만들어 준다. 예를 들어 스칼라 양인 전기 퍼텐셜에 기울기연산을 해주면 전기장을, 자기장 벡터 퍼텐셜에 회전연산을 해주면 자기장을 구할 수 있다. 수식으로 표현하자면 벡터 퍼텐셜 @@NAMATH_INLINE@@\overrightarrow{A}@@NAMATH_INLINE@@ 에 대한 벡터 마당 @@NAMATH_INLINE@@\overrightarrow{v}@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@\overrightarrow{v} = \nabla \times \overrightarrow{A}@@NAMATH_INLINE@@ 이며 스칼라 퍼텐셜 @@NAMATH_INLINE@@\phi@@NAMATH_INLINE@@ 에 대한 벡터 마당 @@NAMATH_INLINE@@\overrightarrow{w}@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@\overrightarrow{w} = - \nabla \phi@@NAMATH_INLINE@@ 이다.