고유상태

양자역학에서 물리량(관측가능량)을 확정적으로 갖는 상태를 고유상태라고 한다.

양자 상태는 힐베르트 공간의 벡터인 파동함수로 기술된다. 이 벡터를 변환하는 함수를 연산자라고 한다. 양자역학에서는 모든 물리량 (@@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@라고 부르자)에 대응하는 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat a@@NAMATH_INLINE@@가 있다. 연산자를 가해도(변환해도) 그대로인(상수배 커지는 것은 허용)벡터를 고유벡터라고 한다. 이 고유벡터로 기술되는 상태는 물리량 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@를 확정적으로 갖는다.

목차

양자역학에서 계에 대한 정보는 파동함수에 들어 있다. 가령, 원자를 이루고 있는 전자, 또는 공간을 이동하는 전자는 모두 파동함수로 기술된다.

파동함수는 힐베르트 공간의 벡터로 생각할 수 있다. 양자역학의 모든 물리량(위치, 운동량, 스핀 등)에는 대응하는 연산자가 있다. 관습적으로 물리량에 모자(hat)기호를 붙여 연산자를 나타낸다. 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat a@@NAMATH_INLINE@@는 벡터에 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\phi@@NAMATH_INLINE@@에 작용하여, 다른 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\psi@@NAMATH_INLINE@@로 변환해주는 사상이나 함수로 정의된다. @@NAMATH_DISPLAY@@\psi = \hat a \phi. @@NAMATH_DISPLAY@@

힐베르트 공간의 연산자의 개념은 유클리드 공간의 연산자를 확장한 것이다. 유클리드 공간의 연산자가 선형이면 행렬로 표현된다. 힐베르트 공간의 연산자는 미분이나 함수의 곱 등이다.

연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat a@@NAMATH_INLINE@@마다, 고유방정식 @@NAMATH_DISPLAY@@\hat a \phi = c \phi @@NAMATH_DISPLAY@@을 생각할 수 있다. 이를 만족하는 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\phi@@NAMATH_INLINE@@와 값 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@를 각각 고유벡터, 고윳값이라고 한다.

파동함수가 어떤 물리량 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@에 대응되는 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat a@@NAMATH_INLINE@@의 고유벡터이면, 그 파동함수가 기술하는 계는 물리량 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@가 고윳값 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@를 갖는 것으로 이해할 수 있다. 예를 들어 운동량 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat p@@NAMATH_INLINE@@에 대한 고유벡터로 기술되는 상태는, 고유방정식의 고윳값 운동량을 갖는다고 이야기할 수 있다. 연산자가 자체 수반(self-adjoint)이면 고윳값은 실수이다.

양자역학의 많은 연산자는 교환가능하지 않다. 연산자를 가하는 순서를 바꾸면 변환되는 벡터가 달라진다. 따라서 파동함수로 기술하는 계의 모든 물리량을 동시에 알 수 없다. 그래도 모든 파동함수는 특정한 물리량 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@의 고유상태로 전개할 수 있다. 전개한 각 항은 고유상태이므로 물리량 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@에 대한 확정적인 값을 갖고, 계수는 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@값을 측정할 확률을 준다. 그러므로 일반적인 파동함수에 대해서도 물리량 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@의 기댓값을 계산할 수 있다.

유클리드 공간 벡터를 회전시키고 확대시키는 등의 연산자를 생각할 수 있다. 선형 연산자는 행렬로 표현할 수 있다.

가령 연산자 @@NAMATH_DISPLAY@@\hat a = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} @@NAMATH_DISPLAY@@에 대하여 앞의 고유방정식을 풀면, 두 개의 해가 있다. 하나는 고윳값 @@NAMATH_INLINE@@-1@@NAMATH_INLINE@@인 고유벡터 @@NAMATH_DISPLAY@@\phi = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} @@NAMATH_DISPLAY@@이며, 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat a@@NAMATH_INLINE@@에 의해 @@NAMATH_INLINE@@-1@@NAMATH_INLINE@@배 확대된다. 다른 하나는 고윳값 3인 고유벡터 @@NAMATH_DISPLAY@@\phi = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} @@NAMATH_DISPLAY@@이며 연산자@@NAMATH_INLINE@@\hat a@@NAMATH_INLINE@@에 의해 3배 확대된다.

고유방정식이 말해주는 것이 바로, 유클리드 공간의 고유벡터는 연산자에 의해 확대된다는 것이다. 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat a@@NAMATH_INLINE@@를 고유벡터가 아닌 일반적인 벡터에 가하면 일반적으로 단순하지 않은 변환이 일어난다.

유클리드 공간의 연산자와 고유벡터를 힐베르트 공간으로 확장할 수 있다. 양자역학의 상태는 힐베르트 공간의 벡터로 나타낸다. 양자역학의 물리량에는 언제나 대응하는 연산자가 있고, 연산자의 고윳값인 관측가능량과 물리량을 연관지을 수 있다. 파동함수는 물리량에 대응되는 연산자의 고유상태로 전개할 수 있다.

가령 위치 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat x@@NAMATH_INLINE@@의 고유상태는 디랙 델타 함수이다. 즉, @@NAMATH_DISPLAY@@\hat x \delta(x-x_0) = x_0 \delta(x-x_0). @@NAMATH_DISPLAY@@일반적인 상태는 전자의 위치를 확정적으로 이야기할 수 없으며, 각 위치에서 관측될 확률만 이야기할 수 있다. 파동함수 @@NAMATH_INLINE@@\psi(x)@@NAMATH_INLINE@@를 위치의 고유벡터로 전개했을 때 @@NAMATH_DISPLAY@@\psi(x) = \int \psi(x_0) \delta(x-x_0) dx_0 @@NAMATH_DISPLAY@@대상 입자를 위치 @@NAMATH_INLINE@@x_0@@NAMATH_INLINE@@에서 발견할 확률은 확률은 해당하는 계수의 절댓값 제곱 @@NAMATH_INLINE@@|\psi(x_0)|^2@@NAMATH_INLINE@@으로 이해할 수 있다(보른 규칙).

운동량 연산자를 공간에서 표현하면 @@NAMATH_INLINE@@\hat p = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}@@NAMATH_INLINE@@로 나타낼 수 있다(이는 교환 관계(commutation relation) @@NAMATH_INLINE@@[\hat x,\hat p]= i \hbar@@NAMATH_INLINE@@에서 얻을 수 있다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@는 플랑크상수이다). 운동량 연산자는 고유벡터 @@NAMATH_INLINE@@e^{i p x /\hbar}@@NAMATH_INLINE@@와 고윳값 @@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@를 가지며, 방정식 @@NAMATH_DISPLAY@@\hat p e^{i p x /\hbar} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} e^{i p x /\hbar} = p e^{i p x /\hbar} @@NAMATH_DISPLAY@@을 만족시킨다. 앞의 예와 마찬가지로 일반적인 파동함수는 이 운동량의 고유벡터로 전개된다.