관측가능량

양자역학에서는 측정을 통하여 계에 대한 정보를 얻으며, 이것이 유일한 방법이다. 관측가능량은 원칙적으로 실험을 통하여 얻을 수 있는 물리량이다. 예를 들면 전자의 위치나 운동량은 관측가능량이다. 양자역학에서는 파동함수에서 얻을 수 있는 특별한 성질의 실수만이 관측가능량이다. 또 어떤 관측가능량들은 동시에 충분히 원하는 정확도로 측정할 수 없다.

양자역학은 파동함수를 통하여 관심있는 대상을 기술한다. 가령, 이중 슬릿을 통과한 전자가 스크린에 남기는 점들을 파동함수를 통하여 계산할 수 있다. 이중 슬릿을 통과한 전자는 슈뢰딩거 방정식을 통하여 진행을 이해할 수 있으며, 스크린에 어떤 점을 남기는지에 대한 정보는 스크린까지 진행한 전자의 파동함수에서 얻을 수 있다.

파동함수는 수학적으로 복소함수이고 힐베르트 공간의 벡터이다. 그러나 우리가 관측가능한 양은 실수로 표현되는 양이다. 위치, 운동량, 스핀 같은 정보가 모두 관측가능량이다. 양자역학의 기본 전제는, 모든 관측가능량에 대하여 연산자가 존재하며, 연산자의 고윳값이 실험을 통하여 얻는 측정값과 대응된다.

예를 들어 위치 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat x@@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같은 고유상태 관계식으로 정의할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@\hat x \delta(x-x_0) = x_0 \delta(x-x_0), @@NAMATH_DISPLAY@@여기에서 @@NAMATH_INLINE@@\delta(x-x_0)@@NAMATH_INLINE@@는 디랙 델타 함수이고, 위치에 대한 고윳값은 @@NAMATH_INLINE@@x_0@@NAMATH_INLINE@@이다. 파동함수 @@NAMATH_INLINE@@\psi(x)@@NAMATH_INLINE@@가 기술하는 입자의 위치의 기댓값은 @@NAMATH_DISPLAY@@\langle \hat x \rangle = \int \psi^*(x) \hat x \psi(x) dx @@NAMATH_DISPLAY@@로 주어진다. 만약 파동함수가 위와 같은 위치의 고유상태이면 위치의 측정값은 @@NAMATH_INLINE@@x_0@@NAMATH_INLINE@@이다. 그러나 위치의 고유상태가 아닌 일반적인 파동함수로 기술되는 입자의 위치는 측정할 때마다 다른 위치가 나온다. 이러한 입자를 여러 개 준비했을 때 입자의 위치의 기댓값을 위와 같은 방법으로 구할 수 있다. 이는 보른 규칙을 적용하여, 입자가 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@에서 발견될 확률밀도 @@NAMATH_INLINE@@|\psi(x)|^2@@NAMATH_INLINE@@를 구한 뒤, 위치 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@를 곱하여 기댓값을 구한 것이다.

양자역학에서 관측가능량은 자기 수반(self-adjoint) 또는 이의 특수한 경우인 에르미트 연산자를 통해 파동함수에서 얻을 수 있다. 이때 고윳값은 실수가 된다.

양자역학에서는 고전적인 모든 물리량을 한꺼번에 관측할 수 없다. 한 순간 입자의 위치를 정확하게 측정할수록 운동량은 더 불확실해진다. 또한 한 순간 한쪽 방향의 스핀을 정확하게 측정할수록 다른 방향의 스핀은 불확정성이 더 증가한다. 이는 수학적으로 연산자가 교환가능하지 않기 때문이다. 예를 들어 위치 @@NAMATH_INLINE@@\hat x@@NAMATH_INLINE@@와 운동량 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat p@@NAMATH_INLINE@@에 대하여 다음 관계가 성립한다. @@NAMATH_DISPLAY@@\hat x \hat p -\hat p \hat x = i \hbar @@NAMATH_DISPLAY@@즉 이들은 순서를 바꾸어 적용하면 같지 않은 비가환(noncommutative) 양들이다. 관습적으로 오른쪽에 있는 연산자부터 상태함수에 가하는 것으로 정한다. 이들을 파동함수 @@NAMATH_INLINE@@\psi(x)@@NAMATH_INLINE@@에 가하면 물리량을 얻을 수 있는데, 가하는 순서에 따라 얻는 결과가 다르다. @@NAMATH_DISPLAY@@\hat x \hat p \psi(x) \ne \hat p \hat x \psi(x). @@NAMATH_DISPLAY@@구체적으로는 이들의 기댓값들의 표준편차 분포를 하이젠베르크의 불확정성원리를 통해 이해할 수 있다.

이 비가환 관계를 이용하면 운동량 연산자의 표현을 @@NAMATH_DISPLAY@@\hat p = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} @@NAMATH_DISPLAY@@와 같이 구할 수 있다. 이를 미분방정식으로 생각하여 풀면, 고유상태 @@NAMATH_INLINE@@e^{i px/\hbar}@@NAMATH_INLINE@@와 고윳값 @@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_DISPLAY@@\hat p e^{i px/\hbar} = - i \hbar \frac{\partial e^{ipx/\hbar}}{\partial x} = p e^{i px/\hbar}@@NAMATH_DISPLAY@@을 얻을 수 있다. 따라서 파동함수로 나타나는 입자의 운동량은 기댓값 @@NAMATH_DISPLAY@@\langle \hat p \rangle = \int \psi^*(x) (-i \hbar) \frac{\partial \psi(x)}{\partial x} dx@@NAMATH_DISPLAY@@으로 구할 수 있다. 만약 파동함수가 운동량에 대한 고유상태이면 이 값은 고윳값 @@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@를 준다.

이를 일반화하여 자기 수반(self-adjoint) 연산자 @@NAMATH_INLINE@@\hat O@@NAMATH_INLINE@@의 기댓값은 @@NAMATH_DISPLAY@@\langle \hat O \rangle = \int \psi^*(x) \hat O \psi(x) dx @@NAMATH_DISPLAY@@로 구한다.

관측가능량은 실험에 대하여 직접 말하지는 않지만, 실험을 통하여 측정하게 될 값을 파동함수가 어떻게 줄 지에 대하여 알려준다.