RLC 회로

저항 R과 인덕터 L, 그리고 축전기 C로 이루어진 회로를 말한다.

목차

문자적으로 RLC 회로는, 저항 R, 인덕터 L, 축전기 C로 이루어진 모든 전기 회로를 지칭할 수 있지만, 물리학에서는 주로 교류전압이 가해진 직렬회로를 의미한다. 교류전압에 의하여 강제적으로 회로에 교류가 흐르게 되는데, 인덕터 역할을 하는 코일의 자체인덕턴스 및 축전기의 전기용량에 의해 결정되는 고유 진동수가 있어, 가해진 교류전압의 진동수가 고유진동수와 일치할 때 전류의 크기가 극대화되는 공진 현상이 일어난다. 그림 1은 RLC 직렬 공진회로를, 그림 2는 RLC 병렬 공진회로를 나타낸다.

그림 1. 교류 전원에 연결된 RLC 직렬 공진회로

그림 2. 교류 전원에 연결된 RLC 병렬 공진회로의 한 예

RLC 직렬 공진회로에서의 공명 또는 공진 (resonance) 현상은 키르히호프 법칙을 기술한 미분방정식을 풀어서 유도할 수 있다. 그림 1처럼 축전기 전기용량 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@, 코일 자체인덕턴스 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@, 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@의 직렬회로 전체에 흐르는 전류를 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@, 축전기에 저장된 전하량을 @@NAMATH_INLINE@@Q(t)@@NAMATH_INLINE@@, 교류전압을 @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@라고 하자. @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@는 사인파 형태 또는 복소수 표현인 @@NAMATH_INLINE@@V(t)=V_0 e^{i\omega_f t}@@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@i=\sqrt{-1}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@: 시간, @@NAMATH_INLINE@@\omega_f@@NAMATH_INLINE@@: 강제진동 각진동수) 로 나타낼 수 있고, 이 직렬회로에서의 전압 강하를 기술한 식은 식 1과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{Q\over C} +R{dQ\over{dt}} +L{{d^2Q}\over{dt^2}} = V_0 e^{i \omega_f t} @@NAMATH_DISPLAY@@가 되어, 해는 @@NAMATH_INLINE@@\omega=\omega_f@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@ Ae^{i\phi}={V_0 \over{-\omega^2 L+i \omega R + 1/C}}@@NAMATH_INLINE@@임을 알 수 있다.

그러므로, 전류 @@NAMATH_INLINE@@I(t)= dQ/dt = i\omega Q(t)={V_0 \over{R+ i (\omega L-{1\over{\omega C}})}} e^{i \omega t}@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 이 모양은 옴의 법칙에 의한 @@NAMATH_INLINE@@I=V/R@@NAMATH_INLINE@@와 유사한 형태를 가지고 있다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@i(\omega L-{1\over{\omega C}})@@NAMATH_INLINE@@항은 분모에서 저항@@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@에 더해진 꼴로 있어서, 비록 허수이긴 하나 일종의 저항이라고 여길 수 있다. 그러므로 이러한 값들, 즉 @@NAMATH_INLINE@@\omega L@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@{1\over{\omega C}}@@NAMATH_INLINE@@을 리액턴스 또는 반응저항이라 부르며, 코일에 의한 리액턴스 @@NAMATH_INLINE@@\omega L@@NAMATH_INLINE@@를 유도 리액턴스, 축전기에 의한 리액턴스 @@NAMATH_INLINE@@{1\over{\omega C}}@@NAMATH_INLINE@@를 용량성 리액턴스라고 각각 지칭한다. 그리고 저항까지 포함한 전체 크기 즉, @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} Z &\equiv \left\vert R+ i (\omega L-{1\over{\omega C}})\right\vert \\ &= \sqrt{R^2 + (\omega L-{1\over{\omega C}})^2} \end{align} @@NAMATH_DISPLAY@@

를 임피던스 또는 온저항이라고 부른다.

그림 3. RLC 직렬 회로에 흐르는 전류의 크기를 강제진동 진동수에 대한 함수로 나타내었다.

전류값의 크기, 즉 @@NAMATH_INLINE@@|I|@@NAMATH_INLINE@@를 강제진동 진동수 @@NAMATH_INLINE@@\omega_f /2\pi@@NAMATH_INLINE@@에 대한 함수로 그리면 그림 3과 같다. 특정한 진동수를 중심으로 뾰족한 모양을 가지고 있으며, 식 3에 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@이 분모에 들어있으므로 일반적으로 저항이 클수록 뾰족한 정도가 약해진다. 이 전류 크기는 외부에서 제공되는 전압의 강제진동에 대한 RLC 회로의 반응의 크기를 대변하며, 그래프의 뾰족한 정도 혹은 피크의 값의 크기가 공진의 정도를 나타낸다. 사실 이 뾰족한 정도는 @@NAMATH_INLINE@@\sqrt{L/C}\over R@@NAMATH_INLINE@@에 의해 결정되는데 회로 공학에서는 이 값을 Q값이라고 한다. 공진이 일어나는 각진동수, 즉 피크의 진동수 값은, 주어진 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@,@@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@,@@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@ 하에 임피던스가 최소가 되게 하는 값이므로, @@NAMATH_INLINE@@\omega_f L={1\over{\omega_f C}}@@NAMATH_INLINE@@으로, @@NAMATH_INLINE@@\omega_f={1\over\sqrt{LC}}\equiv \omega_0@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 따라서 강제진동의 각진동수를 회로의 고유한 값인 @@NAMATH_INLINE@@ \omega_0={1\over\sqrt{LC}}@@NAMATH_INLINE@@에 맞추면 공명이 일어나고 이 고유 진동수 @@NAMATH_INLINE@@{f_0=\omega_0 /2\pi}@@NAMATH_INLINE@@가 곧 공명진동수가 된다.

이러한 RLC 회로의 공명 현상을 이용하여 축전기의 축전용량을 조절함으로써, 특정 주파수의 라디오파만 증폭하여 수신하는 것이 라디오 수신기의 동조회로이다.