유도 리액턴스

코일의 리액턴스를 의미하며, @@NAMATH_INLINE@@{\omega L}@@NAMATH_INLINE@@이다.

목차

유도 리액턴스란 교류회로 소자의 리액턴스 중 코일에 의한 값을 뜻한다. 코일의 자체유도 현상에 의한 것이기 때문에 유도 리액턴스라고 부른다. 일반적으로, 리액턴스 또는 반응 저항이란, 소자의 교류 인가에 대한 반응으로써, 소자에 전압 강하를 일으키는 척도를 나타낸다. 같은 양의 전류에 대하여, 자체인덕턴스 값이 클수록 코일에 걸리는 전위차가 커지기 때문에, 유도 리액턴스는 자체인덕턴스에 비례한다. 어떤 소자에 흐르는 전류 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@와 전압 강하 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@의 관계식을 생각할 때, 옴의 법칙에서 저항의 크기 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@이 그 관계식 (@@NAMATH_INLINE@@V=I\cdot R@@NAMATH_INLINE@@)의 비례상수에 해당하듯이, 리액턴스 @@NAMATH_INLINE@@X@@NAMATH_INLINE@@도 전압과 전류 크기의 관계식에서 비례상수에 해당한다. @@NAMATH_DISPLAY@@|V|=|I|\cdot X \qquad (1)@@NAMATH_DISPLAY@@

단, 저항과 달리 유의할 점은, 리액턴스에 의해 유도되는 전위차는 전류와 위상이 다르며 식 1은 복소수의 절대값의 관계식이라는 사실이다. 리액턴스의 단위로는 저항과 마찬가지로 Ω(옴)을 쓴다. 흔히 축전기의 리액턴스를 용량성 리액턴스, 코일의 리액턴스를 유도 리액턴스라고 부른다. 교류회로의 각진동수 @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@, 코일의 자체인덕턴스를 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@이라고 하면, 유도 리액턴스 @@NAMATH_INLINE@@X_L@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_INLINE@@{\omega L}@@NAMATH_INLINE@@로 결정되는데 이 관계식에 대한 유도는 아래 절에서 다룬다.

주어진 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@에 코일에 흐르는 교류전류 @@NAMATH_INLINE@@{I}(t)@@NAMATH_INLINE@@을 사인파 형태의 복소수 표현인 @@NAMATH_INLINE@@I(0) e^{i\omega t} @@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@i=\sqrt{-1}@@NAMATH_INLINE@@)으로 가정하자. 코일의 자체유도에 의해 유도되는 기전력 @@NAMATH_INLINE@@\mathcal{E} (t)@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_INLINE@@-L\cdot{dI(t)/dt}@@NAMATH_INLINE@@와 같으므로, 전압강하 @@NAMATH_INLINE@@{V_L}(t) = -\mathcal{E} (t)@@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같이 표현된다. @@NAMATH_DISPLAY@@{V_L}(t) = i\omega L \cdot{I}(t)\qquad (2)@@NAMATH_DISPLAY@@

식 2와 식 1을 비교하면, @@NAMATH_INLINE@@{X_L}\equiv{\omega L}@@NAMATH_INLINE@@임을 알 수 있다. 만약, @@NAMATH_INLINE@@\omega \rightarrow 0@@NAMATH_INLINE@@의 극한에 놓이면, @@NAMATH_INLINE@@{\omega L}\rightarrow 0@@NAMATH_INLINE@@이 되므로, 코일의 전압 강하는 없다. 이것은 직류에서는 코일의 자체유도 현상이 없으므로 전류가 아무런 저항을 받지 않고 흐를 수 있음을 의미한다.

식 2를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@{V_L}(t)={X_L}\cdot{I(0) e^{i(\omega t + \pi/2 )}} \qquad (3)@@NAMATH_DISPLAY@@

코일의 전위차의 위상은 전류의 위상보다 @@NAMATH_INLINE@@\pi/2@@NAMATH_INLINE@@만큼 앞서 있음을 알 수 있다. 그림 1은 전류와 코일 전압 강하의 시간에 따른 주기적 변화를 보여준다. @@NAMATH_INLINE@@{V_L}(t)@@NAMATH_INLINE@@는 전류@@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@에 비해 @@NAMATH_INLINE@@\pi/2@@NAMATH_INLINE@@ 위상만큼 더 이른 시간에 동일한 파형을 그리는 것을 볼 수 있다.

그림 1. 코일의 전압 강하와 순간 전류의 시간에 따른 변화

이를 위상자(phasor) 표현으로 바꾸어 말하면, @@NAMATH_INLINE@@{V_L}@@NAMATH_INLINE@@의 위상자는 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@의 위상자보다 시계 반대 방향으로 90도 만큼 더 돌아간다. @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@{V_L}(t)@@NAMATH_INLINE@@를 복소수 평면에서의 벡터로 표현하면 그림 2과 같다.

그림 2. 유도 리액턴스와 전압의 위상 표현

교류회로에서, 순간 전력손실 @@NAMATH_INLINE@@P(t)@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@의 실수부와 @@NAMATH_INLINE@@V(t)@@NAMATH_INLINE@@의 실수부의 곱으로 표현된다. 따라서 유도 리액턴스에 의한 전력 손실은 식 4와 같이 계산할 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ P(t)={\rm Re}[I(t)]\cdot{\rm Re}[{V_L}(t)] ={I(0)^2{X_L}} \cos\omega t \cdot \cos (\omega t + \pi/2) \qquad (4)@@NAMATH_DISPLAY@@

주기 @@NAMATH_INLINE@@T= 2\pi/\omega@@NAMATH_INLINE@@당 평균전력 손실은, 적분 구간을 @@NAMATH_INLINE@@\int_0^{T}{\cdots}@@NAMATH_INLINE@@로 하여 위 식 4를 적분하고 값을 주기 @@NAMATH_INLINE@@T@@NAMATH_INLINE@@로 나누어 얻을 수 있는데, 그 결과 값이 0이 됨을 알 수 있다. 이것은 유도 리액턴스가 교류회로에서 일종의 저항으로 작용하는 것처럼 보여도 실제 전력 손실은 없음을 의미한다.