옴의 법칙

옴의 법칙은 회로에서 전압, 전류, 저항 사이의 관계를 설명하기 위해 사용된다. 이 법칙은 1826년 과학자 게오르크 옴 (Georg Simon Ohm, 그림1)에 의해 발견되었으며 옴이 다양한 길이와 재질을 갖는 도선에 흐르는 전류를 수없이 많이 측정한 후 결과를 얻어 발표하였다. 그의 업적을 인정하여 저항의 단위를 @@NAMATH_INLINE@@\Omega@@NAMATH_INLINE@@(옴, ohm)이라고 한다.

그림 1. 게오르크 시몬 옴 (Georg Simon Ohm) ()

그림 2와 같이 도체의 두 지점 사이의 전위차에 의해 흐르는 전류가 일정한 법칙이고 전류와 전압은 선형으로 비례관계에 있음을 뜻한다. 그러므로 어떤 저항체에 걸리는 전압 V (Voltage)와 여기서 흐르는 전류 I (Intensity of current)사이에는 다음과 같은 방정식이 성립한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@R= \frac{ V}{ I }@@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 R (Resistance)은 저항체에 걸리는 저항이며, 그 단위는 V/A이고 이것을 @@NAMATH_INLINE@@\Omega@@NAMATH_INLINE@@(ohm)이라 한다.

그림 2-1. 옴의 법칙 ()

그림 2-2. 2가지 저항체 A, B에 대한 옴의 법칙을 따르는 전류-전압 그래프

전자기학에서 미시적인 옴의 법칙은 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@J= \sigma E\;(1)@@NAMATH_DISPLAY@@ 여기서 @@NAMATH_INLINE@@J@@NAMATH_INLINE@@는 전류밀도, @@NAMATH_INLINE@@\sigma@@NAMATH_INLINE@@는 전기 전도도, @@NAMATH_INLINE@@E@@NAMATH_INLINE@@는 전기장의 세기이다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\overrightarrow{ E }@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\overrightarrow{ J }@@NAMATH_INLINE@@의 단위는 SI 단위계에서 각각 V/m, A/m²이므로 @@NAMATH_INLINE@@\sigma@@NAMATH_INLINE@@의 단위는 SI 단위계에서 A/Vm이다.

이 식으로부터 회로에서 사용되는 거시적인 옴의 법칙을 유도할 수 있다. 그림 3에 나와 있는 길이가 , 단면적이 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@, 저항이 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@인 도선을 고려하면, 전압(전위차)은 @@NAMATH_INLINE@@V=El@@NAMATH_INLINE@@이고 전류밀도는 @@NAMATH_INLINE@@J= \frac{ I}{ A }@@NAMATH_INLINE@@이다. 이를 (1) 식에 대입하고 정리하면 옴의 법칙의 거시적인 형태인 (2) 식을 얻을 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@\frac{ I}{ A } = \sigma \frac{ V}{ l }@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@V=I \rho \frac{ l}{ A } =IR\;(2)@@NAMATH_DISPLAY@@ 여기서 비저항과 전기 전도도는 다음 관계를 갖는다: @@NAMATH_INLINE@@\rho = \frac{ 1}{ \sigma }@@NAMATH_INLINE@@. @@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@ 의 SI 단위는 @@NAMATH_INLINE@@\Omega m@@NAMATH_INLINE@@이다. 또한 이 도선에서 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@과 비저항 @@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@의 관계는 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@R= \rho \frac{ l}{ A }@@NAMATH_DISPLAY@@즉, 저항의 크기는 도선의 길이와 비저항에 비례하고 단면적에 반비례한다. 비저항은 금속 도선의 재질, 온도 등에 따라 결정되는 물질의 특성이다.

그림 3. 길이 @@NAMATH_INLINE@@l@@NAMATH_INLINE@@, 단면적 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@, 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@인 도선 (출처:한국물리학회)

그림 4과 같이 옴의 법칙은 삼각형으로 나타낼 수 있고 저항이 일정할 때 전압이 2배가 되면 전류는 2배가 되지만 전압이 일정할 때 저항이 2배가 되면 전류는 @@NAMATH_INLINE@@\frac{1}{2}@@NAMATH_INLINE@@로 줄어든다.

그림 4. Ohm’s law triangle (출처: 한국물리학회)

회로 내에서 저항체를 한 개만 사용하는 경우도 있고 여러 개를 연결하여 사용하는 경우도 있다. 저항체의 연결로 흔히 볼 수 있는 예로서 저항체를 한 줄로 연결한 직렬연결과 저항체를 나란히 연결한 병렬연결에서의 합성 저항을 예로 들어보자.

먼저 그림 5-1과 같이 직렬연결에서는 @@NAMATH_INLINE@@R_{1}@@NAMATH_INLINE@@지점에 흐르는 전류는 반드시 저항 @@NAMATH_INLINE@@R_{1}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@R_{2}@@NAMATH_INLINE@@에 흐르게 된다. 따라서 모든 저항에 걸리는 전류는 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@로 일정하고 저항이 직렬로 연결된 회로에서 나타나는 전위차는 각각의 저항에 나눠져 분배하게 된다. 셋 이상의 저항이 직렬로 연결된 회로에서의 총 저항은 이 식처럼 각각의 저항의 합으로 나타낼 수 있고

@@NAMATH_DISPLAY@@V=V_{ 1 } +V_{ 2 } +V_{ 3 }@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@V=IR=IR_{ 1 } +IR_{ 2 } +IR_{ 3 } =I(R_{ 1 } +R_{ 2 } +R_{ 3 } )@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@\Rightarrow R=R_{ 1 } +R_{ 2 } +R_{ 3 }@@NAMATH_DISPLAY@@

이처럼 총 저항은 각각의 저항보다 항상 커짐을 알 수 있다.

다음으로는 병렬연결을 살펴보자. 그림 5-2와 같이 여러 저항이 병렬연결 된 경우 각각의 저항이 똑같이 전지의 양단에 연결된다. 따라서 각각의 저항에 걸린 양단의 전위차는 모두 같고 전류는 분기점에 의해 갈라지기 때문에 각각의 저항기를 통해 흐르는 전류는 전지를 통해 흐르는 전류보다 작아지게 된다. 하지만 회로 내에서의 총 전하는 보존되므로 전류 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@는 분기점에서 나가는 전체 전류의 합과 같다. 이를 다음과 같이 식으로 정리해보면 총 저항의 역수는 각각의 저항의 역수의 합과 같음을 알 수 있고

@@NAMATH_DISPLAY@@I=I_{ 1 } +I_{ 2 } +I_{ 3 }@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@I= \frac{ V}{ R } = \frac{ V}{ R_{ 1 } } + \frac{ V}{ R_{ 2 } } + \frac{ V}{ R_{ 3 } } =V( \frac{ 1}{ R_{ 1 } } + \frac{ 1}{ R_{ 2 } } + \frac{ 1}{ R_{ 3 } } )@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\Rightarrow \frac{ 1}{ R } = \frac{ 1}{ R_{ 1 } } + \frac{ 1}{ R_{ 2 } } + \frac{ 1}{ R_{ 3 } }@@NAMATH_DISPLAY@@

이처럼 총 저항은 각 저항 중 가장 작은 저항보다도 항상 작아짐을 알 수 있다.

그림 5-1. 저항의 직렬연결 (출처:한국물리학회)

그림 5-2. 저항의 병렬연결 (출처:한국물리학회)