발밑에 숨겨 둔 수학 꺼내보기

예로부터 우리 선조들은 헝겊 자투리 하나도 아껴 다시 사용하던 생활의 지혜와 예술적인 감각이 있었다. 이와 같은 절약 정신을 대표하는 것에는 조각보가 있다. 조각보는 여러 조각의 자투리 천을 모아 만든 보자기로 한국 고유의 민속 문화다. 이런 조각보는 궁중보다는 주로 민간에서 쓰였던 것으로, 조선시대 천이 귀하던 시절에 옷이나 이불을 만들고 남은 자투리 천을 모아 붙여 물건을 싸거나 밥상을 덮는데 쓰였다.

하지만 아쉽게도 대부분의 조각보는 비단이나 모시 등 쉽게 상하는 천연 소재로 만들어졌기 때문에, 현존하는 조각보는 주로 조선 후기에 만들어진 것들이다.

조각보

우리나라에 조각보가 있다면 서양에는 헝겊을 일정하게 잘라 이어 붙인 퀼트(quilt)가 있다. 퀼트는 겉감과 안감 사이에 솜이나 모사 등을 넣고 바느질하여 누비는 것이나 또는 그러한 천을 말한다.

퀼트

조각보와 퀼트의 공통점은 모두 한 평면을 도형으로 덮는 것이다. 이와 같이 평면을 빈틈없이 겹치지 않게 채우는 것을 쪽매맞춤 또는 테셀레이션(Tessellation)이라고 한다. 쪽매맞춤은 이슬람 문화, 이집트 등의 동양 문화뿐만 아니라 로마, 그리스, 비잔틴 등 서양 문화에서도 발견되고 있으며, 위와 같은 조각보와 퀼트뿐만 아니라 보도블록, 벽지, 우리나라 궁궐이나 절의 단청, 담장, 문창살 등 한국의 전통문양에서도 많이 찾아볼 수 있다.

쪽매맞춤에는 예술적인 아름다움과 수학적인 원리가 숨어있는데 정다각형을 이용하여 평행이동, 대칭이동, 회전이동 등 여러 가지 변환으로 다양한 모양을 연출한다. 특히 정다각형 중에서 평면을 겹치지 않게 덮을 수 있는 것은 정삼각형과 정사각형, 그리고 정육각형 밖에 없다. 그래서 똑같은 모양의 도형을 이용하는 쪽매맞춤의 경우, 조각 하나하나의 모양은 이들 도형을 이용해 만든다.

즉, 정삼각형은 한 내각의 크기가 60°이므로 한 점에 6개가 모이면 360°가 돼 평면을 이루고, 정사각형은 한 내각의 크기가 90°이므로 4개가 한 점에 모이면 평면이 된다. 또한 정육각형은 한 내각의 크기가 120°이므로 한 점에 3개가 모이면 360°가 돼 평면을 이룬다.

반면 정오각형의 경우 한 내각의 크기가 108°이므로 3개가 모이면 324°이고, 4개가 모이면 432°가 된다. 따라서 한 점에 3개가 모이면 평면이 되기 위해서는 36°가 모자라고, 4개가 모이는 경우는 겹치게 된다. 다른 정다각형의 경우도 정오각형의 경우와 마찬가지로 평면을 덮을 수 없다.

똑같은 모양으로 평면을 덮을 수 있는 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 3개뿐이다.

쪽매맞춤의 아름다움을 처음으로 부각시킨 사람은 오스트리아의 콜로만 모저다. 그 후 네덜란드의 모리츠 코르넬리스 에셔(M. C. Escher, 1898~1972)가 여러 가지 아름답고 유명한 쪽매맞춤을 선보였다. 에셔는 무어인들의 모자이크에서 영감을 받아 단순한 기하학적 무늬에서 수학적 변환을 이용하여 새로운 작품 세계를 구축했다.

뛰어난 기량을 발휘해 평범한 일상에서 예기치 않은 은유를 포착한 그의 작품들은 수학자와 지각 심리학자 및 일반 대중의 관심을 끌었고 20세기 중엽 널리 보급됐다. 지금도 그의 작품에 매료된 수많은 과학자들과 수학자들은 그의 작품 속의 학문적 의미를 찾는 작업을 계속하고 있다. 아래 그림은 ‘밤과 낮’이라는 에셔의 대표적인 작품 중 하나다.

에셔의 밤과 낮(1940) 대표적인 쪽매맞춤 작품

이제 쪽매맞춤을 만드는 과정을 알아보자. 앞에서 말한 것과 같이 평면을 겹치지 않게 채울 수 있는 정다각형은 그림과 같은 정삼각형과 정사각형 그리고 정육각형이 전부이다. 여기서는 정사각형을 이용하여 쪽매맞춤을 만들어보자.

정사각형의 색종이를 여러 장 준비한 다음 아래 그림과 같이 만들고자 하는 모양을 그린 후 오려낸다. 이때 색종이의 아랫부분에서 오려낸 그림을 윗부분에 붙여야 하는데, 주의해야 할 점은 아랫부분에서 오려낸 부분과 똑같은 위치의 윗부분에 오려낸 그림 조각을 붙여야 한다는 것이다.

위와 아래가 결정됐으면 오른쪽과 왼쪽을 만들기 위해 같은 방법으로 그림을 그려 넣고 잘라내어 붙인다. 위와 같은 작업을 계속하여 얻은 여러 장의 색종이를 서로 겹치지 않게 붙이면 아래 그림과 같은 쪽매맞춤이 완성된다.

쪽매맞춤은 똑같은 모양의 정다각형만을 이용하는 경우와 몇 개의 서로 다른 다각형을 이용하는 경우가 있다. 다음 그림은 정사각형과 정팔각형을 이용한 쪽매맞춤과 정삼각형, 정사각형, 정육각형 모두를 이용한 쪽매맞춤이다. 이와 같이 서로 다른 모양의 도형을 이어 붙이는 것을 ‘반등각등변 쪽매맞춤’이라고 하는데, 이 경우 12개 이상의 변을 가진 도형으로는 불가능하다는 것으로 알려져 있다. 또 변의 수가 5, 7, 9, 10, 11의 경우도 불가능하다.

어떤 경우가 가능하고, 어떤 경우가 불가능한지에 관한 확인은 대학교의 수학과 학생들이 3학년 즈음에 배우는 ‘군론(Group Theory)’으로 설명된다. 아마도 많은 사람들은 군론을 이해하는데 어려움을 느낄 것이다. 그러나 군론은 2x=3과 같은 간단한 방정식을 풀기 위해 꼭 필요한 것이다. 이를테면 방정식 2x=3의 해를 구하기 위해 양변에 미지수 x의 계수 2의 역수 1/2을 곱해준다. 그러면 x=3/2이라는 해를 얻는데, 이때 곱셈 연산이 정의돼 있고 그 연산에 따라 2의 역수가 1/2이며 그것을 양변에 곱하여도 등호는 변함이 없다는 것이 군론의 일부이다.

군의 정의는 다음과 같다.

따라서 쪽매맞춤은 군론으로 설명할 수 있는데, 군론을 이용해 쪽매맞춤의 원리를 수학적으로 설명하려면 매우 어렵기 때문에 여기서는 이 정도로 설명을 마치겠다. 마지막으로 고신대학교 유아교육과 계영희 교수님이 학생들과 함께 완성한 다음 작품을 감상해 보기 바란다.

말

비둘기