천재일우(千載一遇)와 확률

아주 오래전부터 동양의 수학은 서양의 수학보다 경험적이었다. 서양의 수학은 이성을 바탕으로 하여 추론과 연역에 의한 논리전개 위주였다면, 동양은 실생활에서 경험으로 얻어지는 사실을 바탕으로 수학을 일반화하였다. 확률도 예외는 아니어서 서양에서는 확률을 수학적으로 엄밀히 정리하고자 노력하였다.

동양에서는 특별히 확률에 관한 내용을 수학적으로 엄밀하게 다루지는 않았지만 일상생활에서는 빈번하게 확률을 사용했다. 확률을 사용한 고사성어 중에 ‘아주 귀중한 만남이나 그 만남의 기회’를 말할 때 사용하는 ‘천재일우(千載一遇)’라는 말이 있다. 우선 이 고사성어의 유래를 알아보자.

■ 천재일우의 유래
동진(東晋)의 학자로서 동양태수(東陽太守)를 지낸 원굉(袁宏)은 여러 문집에 시문 300여 편을 남겼다. 특히 그는 <삼국명신서찬(三國名臣序贊)>이라는 것을 썼는데, 이 책은 <삼국지>에 실려 있는 건국 명신 20명을 찬양하는 시와 서문을 쓴 글이다. 원굉은 그 중 위나라의 순문약(筍文若)을 찬양한 다음과 같은 글을 적고 있다.

순문약은 삼국시대에 조조의 참모로 활약했으나 조조에게 역심이 있음을 알고 반대하다가 배척당한 강직한 인물이었고, 백락은 주나라 사람으로 명마를 잘 식별하는 사람이다. 이 글에서 원굉은 백락을 뛰어난 인물을 알아보는 눈을 가진 임금으로 비유하였고, 천리마는 탁월한 능력을 갖춘 명신으로 비유하였다. 이러한 임금과 신하의 만남은 ‘천 년 만에 오는 기회’라는 것이다.

우선 기회가 1년 마다 한 번씩 온다면 천재일우는 1/1000, 즉 만날 확률이 0.1%이다. 여기서 잡고자 하는 기회가 매일 찾아온다고 가정하면, 1년은 365일이므로 기회를 잡을 확률은 1/365000이다. 그런데 1/365000 ≒ 0.00000274 ≒ 0 이므로 ‘천재일우’는 확률 0이다.

일반적으로 확률에는 수학적 확률과 통계적 확률의 두 가지 종류가 있다. 어떤 시행의 표본공간 S가 n개의 사건으로 이루어져 있고, 그 사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 A가 r개의 사건으로 이루어져 있으면 사건 A가 일어날 확률 P(A) = n(A)/n(S) = r/n을 수학적 확률이라고 한다. 한편, 어떤 시행을 n번 반복할 때 사건 A가 r_n번 일어난다고 할 때, n을 충분히 크게 함에 따라 상대도수 r_n/n가 일정한 값 p에 가까워지면 p를 사건 A가 일어날 통계적 확률이라고 한다.

■ 수학적 확률과 통계적 확률
통계적 확률을 보다 정확하게 정의하기 위해서는 극한이라는 좀 어려운 수학적 개념이 필요하다. 이 개념을 이용하면 어떤 사건 A가 일어날 수학적 확률이 p일 때, 시행 횟수를 충분히 크게 하면 사건 A가 일어나는 상대도수는 수학적 확률 p에 가까워진다는 것은 잘 알려져 있다. 그래서 일상생활에서는 수학적 확률과 통계적 확률을 명확히 구별하지 않고 그냥 확률이라고 한다.

예를 들어 주사위 하나를 던질 때 3의 눈이 나올 수학적 확률과 통계적 확률은 모두 1/6 = 0.167, 즉 16.7%이다. 여러분이 주사위 놀이를 해 보아서 잘 알겠지만 실제로 이 정도의 확률이면 3의 눈은 잘 나오지 않는다. 또, 일기예보에서 비올 확률인 30% 또는 40%라고 하더라도 거의 대부분의 경우에 비는 오지 않는다. 실제로 어떤 일이 일어날 확률이 10% 이하인 경우, 그 일은 일어나지 않는다. 그러니 확률이 0.1%인 명군과 명신이 만나는 천재일우가 얼마나 잡기 힘든 기회인지는 쉽게 짐작할 수 있다.

고사성어 중에 확률적으로 천재일우보다 좀 더 가능성이 있는 경우를 말하는 것도 있다. 시험을 칠 때 답을 모두 맞히는 경우나 다트와 같은 게임을 할 때 모두 맞힌다는 뜻을 가진 백발백중(百發百中)이 그것이다. 백발백중은 <사기(史記)>에 나와 있는 말로 다음과 같은 유래가 있다.

중국의 춘추전국시대 진나라의 장군 백기(白起)는 한나라와 위나라와의 전쟁에서 모두 크게 승리했다. 백기는 이 여세를 몰아 위나라의 수도 양(梁)을 공격하려고 했다. 그러자 주나라의 난왕은 백기가 양을 빼앗은 후 장차 주나라를 공격할 것이라고 생각하여 미리 백기 장군에게 전쟁을 그칠 것을 설득하기 위해 이런 말을 전했다.

이 이야기는 백기 장군이 지금까지 승승장구하면서 다시 양을 공격해 빼앗으려고 하지만 만약 단번에 빼앗지 못한다면 지금까지의 공로가 수포로 돌아갈 것이니 전쟁을 그치는 것이 좋다고 권유한 것이다.

그렇다면 백발백중의 출처에서 화살의 한 대가 빗나갈 확률은 얼마일까? 백발백중의 유래에서는 양유기가 100발을 쏘아 모두 명중시킨 후 한 발을 더 쏘았을 경우를 말하고 있다. 따라서 101발을 쏘아 100발을 명중시킬 확률은 100/101≒0.99이므로 한 발을 명중시키지 못할 확률은 1/101≒0.0099이다. 그런데 소수점 넷째 자리까지 확률을 계산하는 것은 수학적으로 별로 의미가 없기 때문에 0.0099는 반올림하여 0.01, 즉 1%의 확률이 된다. 이 확률은 100발을 쏘아 99발을 명중시키고 1발을 명중시키지 못할 경우의 확률과 같다.

■ 실생활에서의 천재일우
앞에서 알아본 천재일우는 거의 발생하지 않을 일이다. 그렇다면 실생활에서 천재일우와 비슷한 확률에는 어떤 것이 있을까? 먼저 로또 당첨을 들 수 있다. 로또는 1부터 45까지 각각 번호가 하나씩 표시된 45개의 공에서 6개를 뽑아서 당첨을 확인하는 확률 게임이다. 로또는 수학적으로 45개 중에서 6개를 선택하는 것이므로 조합과 같다.

실제로 계산하면 아래와 같다.

여기서 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720과 같이 계산하므로 다음과 같다.

따라서 로또 1등에 당첨될 확률은 1/8,145,060이다. 2등은 평균 6명이 당첨되므로 2등에 당첨될 확률은 1/8,145,060 x 6 = 1/1,357,510 이고, 3등은 평균 228명이 당첨되므로 1/35,724이다. 또 4등은 평균 11,112명이 당첨되므로 1/733이고, 5등은 평균 181,000명이 당첨된다고 하니 5등에 당첨될 확률은 1/45 ≈ 0.02 = 2/100이다.

이번에는 내가 번개에 맞을 확률을 계산해 보자. 2013년에 한 일간지(조선일보)에 보도된 내용에 의하면 우리나라에서 한 해에 발생하는 번개는 평균 105,000회라고 한다. 따라서 하루에 평균 105,000 ÷ 365 ≈ 288회의 번개가 발생한다. 이 중에서 많은 경우는 하늘에서 사라지고 실제로 땅에 떨어져서 위험한 경우는 2010년 기준으로 12,458회라고 한다. 따라서 하루 평균 12,458 ÷ 365 ≈ 34회이다. 물론 가을과 같이 맑은 하늘이 많은 날은 낙뢰가 전혀 없고 여름 장마철에는 많을 것이다.

통계청 자료에 의하면 우리나라 국토의 전체 면적은 100,150km²이고, 인구 밀도는 한 변의 길이가 1km인 정사각형 안에 약 487명이라고 한다. 하루 평균 34회의 낙뢰가 있으므로 이 넓이가 1km²인 정사각형 안에 번개가 떨어질 확률은 34/100,150 ≈ 0.00034이다. 그런데 이 정사각형 안에 약 487명이 살고 있으므로 그 중에 1명이 번개에 맞을 확률은 0.00034/487 ≈ 0.0000007이다. 그리고 0.0000007 = 7/10,000,000 인데, 좀 더 이해하기 쉽게 7을 넉넉하게 약 10 이라고 하면 오늘 내가 번개에 맞을 확률은 10/10,000,000 = 1/1,000,000 즉 1백만 분에 1인 것이다. 그래도 번개에 맞을 확률이 로또 1등에 당첨될 확률보다 8배나 높다.

또한 평균 100명이 근무하는 사업장을 기준으로 사원에서 대리로 승진할 확률은 50%, 대리에서 과장으로 승진할 확률은 26%, 과장에서 부장 승진은 14%, 부장에서 이사가 될 확률은 8%, 사장이 될 확률은 2%에 불과하다고 한다. 또 첫 직장에서 정년퇴직할 확률은 8.2%, 정규직으로 취업에 성공할 확률은 28.6%라고 한다.