동병상련(同病相憐)과 닮음

우리는 흔히 서로 같은 어려움을 겪고 있는 경우에 ‘동병상련(同病相憐)’이라는 말을 사용한다. 이를테면 ‘저 두 사람은 같은 병을 앓다 보니까 동병상련이라고 형제보다 그 우애가 더하다.’ 또는 ‘동병상련이라고 어려운 처지를 당해 보아야 남을 생각할 줄도 알게 되는 법이다.’와 같이 사용한다. 동병상련은 ‘같은 병을 앓는 사람끼리 서로 가엽게 여긴다.’라는 뜻으로, ‘어려운 처지에 있는 사람끼리 서로 딱하게 여겨 동정하고 돕는다.’라는 말이다. <오월춘추(吳越春秋)>, ‘합려내전(闔閭內傳)’에 다음과 같은 이야기가 실려 있다.

동병상련은 한 마디로 말하면 ‘닮았다.’는 뜻이다. 수학에서는 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소하거나 그대로 다른 도형에 포갤 수 있을 때, 이들 두 도형은 서로 닮았다 또는 닮음인 관계가 있다고 하고, 닮은 두 도형을 닮은 도형이라고 한다. 간단하게 예를 들면 다음 그림은 워드프로세서에서 글꼴 크기를 달리한 글자로 각각의 글자는 닮은 도형이 된다.

다음 그림은 □ABCD의 각 변을 2배로 확대한 □A´B´C´D´을 모눈종이 위에 그린 것이다. 또 □EFGH는 □A´B´C´D´을 뒤집어 놓은 것이다. 이 그림을 이용하여 닮음을 수학적으로 좀 더 살펴보자.

□ABCD를 2배로 확대한 도형 A´B´C´D´은 □EFGH와 합동이므로 □ABCD와 □EFGH는 닮은 도형이다. 이 때 이 두 사각형에서 꼭짓점 A와 E, B와 F, C와 G, D와 H는 각각 서로 대응하는 꼭짓점이고, ∠A와 ∠E, ∠B와 ∠F, ∠C와 ∠G, ∠D와 ∠H는 각각 서로 대응하는 각이다.

두 도형 □ABCD와 □EFGH가 닮음인 관계가 있음을 기호 ∽를 사용하여

□ABCD ∽ □EFGH

와 같이 나타내고, 양쪽의 꼭짓점은 대응하는 순서대로 쓴다. 여기서 사용된 닮음기호 ∽는 1710년경 독일의 수학자 라이프니츠가 처음 사용한 것이다. 이것은 라틴어 similis(영어의 similar)의 머리글자인 S를 옆으로 누인 것이다.

위의 그림에서 □ABCD와 □EFGH에서 대응하는 변의 길이의 비는 모두 1:2이고 대응하는 각의 크기는 각각 같음을 알 수 있다. 이와 같이 닮은 두 다각형에서 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라고 한다.

위의 그림과 같이 두 도형의 대응점끼리 이은 직선이 모두 한 점 O를 지나고 점 O에서 각 도형의 대응점까지의 길이의 비가 모두 같을 때, 이들 두 도형은 닮음의 위치에 있다고 하며, 점 O를 닮음의 중심이라고 한다. 위의 그림에서 보듯이 닮음의 중심은 도형의 밖에 있을 수도 있고 안에 있을 수도 있다. 그런데 닮음의 중심이 도형의 밖에 있을 때에는 아래 그림과 같이 닮은 도형을 뒤집어서 그릴 수도 있다.

삼각형은 모든 도형 중에서 가장 기본이 되기 때문에 두 삼각형이 어떨 때 닮았는지를 아는 것은 매우 중요한 일이다. 실제로 두 삼각형은 다음 세 조건 중에서 어느 하나를 만족하면 닮은 도형이 된다.

① 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 : a/a´ = b/b´ = c/c´

② 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 : a/a´ = c/c´, ∠B = ∠B´

③ 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때 : ∠B = ∠B´, ∠C = ∠C´

앞에서 알아본 도형의 닮음이 실생활의 어디에서 사용될까? 복사기나 카메라, 환등기, 컴퓨터의 화면 등은 도형의 확대와 축소가 모두 자유롭다. 현미경을 이용하여 관찰되는 세포, 세균, 미립자 등과 과학 학습에 이용되는 분자 모형 등은 도형의 확대를 이용한 것이다. 은행에서 수표를 발행할 때 모든 수표는 마이크로 카메라에 의하여 축소 복사된다. 또 명함판 사진이나 제품을 소개하는 사진들, 건물을 짓기 전에 미리 만들어 놓은 모형, 비행기, 자동차의 모형 등의 모형 장난감, 실물 모양의 기념품 등은 모두 도형의 축소를 이용한 것이다.