전자기이론

전기와 자기를 통합하여 원인과 결과를 밝히는 이론을 전자기이론이라 부른다.

목차

전자기이론은 전기장과 자기장, 그리고 그들의 상호작용에 관한 이론이다. 맥스웰(J. C. Maxwell, 1831-1879)이 정립한 전기장, 자기장, 전자기유도에 관한 이론, 로런츠힘에 관한 이론에서 시작하여 전자기파 이론, 전자기 복사, 그리고 특수상대성이론에 의한 전기장과 자기장의 상호 교환에 관한 이론에 이르는 전자기학에 관한 모든 이론을 포함한다.

맥스웰 전자기이론에 의하면 전기장,자기장과 전자기유도는 다음 4개의 맥스웰 방정식으로 기술된다. @@NAMATH_DISPLAY@@\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 1) @@NAMATH_DISPLAY@@\nabla\times\mathbf{E} =-{{\partial\mathbf{B}}\over{\partial t}}@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 2) @@NAMATH_DISPLAY@@\nabla\cdot\mathbf{B} = 0@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 3) @@NAMATH_DISPLAY@@\nabla\times\mathbf{H}={{\partial\mathbf{D}}\over{\partial t}} +\mathbf{J}_f@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 4)

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{D}= \epsilon \mathbf{E} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu_0 \mathbf{H} + \mu_0 \mathbf{M}@@NAMATH_INLINE@@으로서, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{D}@@NAMATH_INLINE@@는 전기장,@@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{H}@@NAMATH_INLINE@@는 자기장, @@NAMATH_INLINE@@\rho_f@@NAMATH_INLINE@@는 자유 전하밀도, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}_f@@NAMATH_INLINE@@는 자유 전류밀도, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{P}@@NAMATH_INLINE@@는 유전분극, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{M}@@NAMATH_INLINE@@은 자기화, @@NAMATH_INLINE@@\epsilon@@NAMATH_INLINE@@은 유전율, @@NAMATH_INLINE@@\mu@@NAMATH_INLINE@@는 투자율, @@NAMATH_INLINE@@\epsilon_0@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\mu_0@@NAMATH_INLINE@@는 진공의 유전율과 투자율이다.

식 1부터 4까지에서 등호의 오른쪽은 원인을, 왼쪽은 결과물의 공간적 변화를 나타낸다. 식 1은 자유 전하밀도가 전기장 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{D}@@NAMATH_INLINE@@의 발산하는 성분을 만들어 낸다는 의미로, 전기장의 원천에 관한 식으로 해석할 수 있다. 식 2는, 자기장의 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@에 대한 변화가 전기장의 회전 성분을 만든다는 의미로, 패러데이 전자기유도 법칙이다. 식 3은, 자기장의 발산하는 성분을 만드는 원천은 없다는 의미로, 자기홀극(magnetic monopole)이 존재하지 않음을 암시하는 식이다. 마지막으로 식 4는, 전기장의 시간에 대한 변화인 변위전류나 전류밀도가 자기장의 회전 성분을 만든다는 의미로, 도선의 전류 주위에 회전하는 자기장을 설명하는 식이다. 이상과 같이 이론적으로 위 4개의 식으로부터 전기장, 자기장, 그리고 그들의 상호작용을 모두 기술할 수 있다.

로런츠힘은 전기장 또는 자기장 하에서 움직이는 전하가 받는 힘이다. 전하의 전하량을 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@, 속도를 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@라 하면, 로런츠힘은 식 5와 같이 주어진다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 5)

즉, 양의 전하를 띤 입자는 전기장 방향으로 그리고 속도와 자기장에 수직인 방향으로 힘을 받게 된다.

자유 전하나 전류밀도가 없는 진공에서는 일정한 크기의 전기장과 자기장이 존재하지 않는다. 그러나 맥스웰 방정식에 의하면 전기장의 시간에 따른 변화가 자기장을 만들 수 있고, 자기장의 시간적 변화가 다시 전기장을 만들 수 있다. 따라서 맥스웰 방정식을 진공에 대하여 풀면 파동 형식의 해가 도출되며 이것이 바로 전자기파이다. 이때 파동의 전파속도는 @@NAMATH_INLINE@@v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}@@NAMATH_INLINE@@로 바로 빛의 속도인 @@NAMATH_INLINE@@c=@@NAMATH_INLINE@@299,792,458 m/s 이다. 이로써, 빛은 전자기파라는 사실을 알게 되었다.

식 1에서 4까지의 맥스웰 방정식에 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}_f=0@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\rho_f=0@@NAMATH_INLINE@@을 대입하고, 연립하면 다음의 식이 도출된다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\nabla^2\mathbf{E}=\mu_0 \epsilon_0{{\partial^2 \mathbf{E}}\over{\partial\, t^2}},@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 6) @@NAMATH_DISPLAY@@\nabla^2\mathbf{B}=\mu_0 \epsilon_0{{\partial^2 \mathbf{B}}\over{\partial\, t^2}}.@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 7)

식 6과 식 7은 속력 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 3차원에서 진행하는 평면파의 방정식, @@NAMATH_INLINE@@\nabla^2 f=\frac{1}{v^2}{{\partial^2 f}\over{\partial\, t^2}}@@NAMATH_INLINE@@과 형태가 같아, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@가 파동의 형태로 주어짐을 알 수 있다. 따라서,

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{E}=\mathbf{E}_0 e^{i(kx-\omega t)},@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 8) @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{B}={\mathbf{E}_0\over c} e^{i(kx-\omega t)}.@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 9)

이 때 각속도 @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@와 파수 @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@의 비율이 위상속도(phase velocity)이며 @@NAMATH_INLINE@@\omega=ck@@NAMATH_INLINE@@이다.

그림 1은 전자기파의 형태를 나타낸다. 사인파 형태의 전기장과 자기장이 서로를 유도하며 빛의 속도로 진행한다. 전기장과 자기장은 항상 90도 각도를 유지한다.

그림 1. 전자기파 ()

일반적으로 자유 전하밀도나 전류밀도가 등방이 아닌 형태로 있으면, 전기쌍극자나 자기쌍극자, 또는 전기 사중극자(electric quadrupole)등 이른바 다중극자(multipole) 항으로 분해하여 생각할 수 있다. 이들 다중극자가 시간에 따라 진동하면 전자기파가 발생한다. 다중극자 주변으로 퍼져 나가기 때문에 평면파의 형태가 아니며 복잡한 계산을 통해 전자기장의 강도를 알 수 있다. 그림 2는 세로 방향으로 원점에 놓인 전기쌍극자에 의한 전자기 복사를 보여준다. 그림 2의 색깔은 전기장의 크기 @@NAMATH_INLINE@@|\mathbf{E}|@@NAMATH_INLINE@@를 나타내며 전기장의 세로 성분이 양의 값일 때 붉은 색으로, 음의 값일 때 파란 색으로 보여준다. 화살표는 포인팅벡터 나타낸다.

그림 2. 전기쌍극자에 의한 전자기 복사 ()

일반적으로 입자 사이의 전자기력을 매개하는 것이 바로 빛(광자)이다. 따라서 전자기장은 빛의 속도로 전파되며, 특수상대성이론에 의한 로런츠변환에 의해 관측 좌표계에 따라 달리 보이게 된다. 로런츠변환에서는 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@와 위치 @@NAMATH_INLINE@@(x,y,z)@@NAMATH_INLINE@@가 더이상 독립적이지 않고, 관측하는 관성좌표계의 속도에 따라 서로 얽혀 상호 변환된다. 따라서 한 좌표계에서는 전기장으로 나타나던 것이 매우 빨리 움직이는 다른 좌표계에서는 자기장으로 나타나기도 한다.

그림 3은 점전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 매우 빠른 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 움직이는 경우 정지 좌표계에서 관측되는 전기장과 자기장의 크기를 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@에 따라 나타내었다. 먼저 전하가 정지해 있을 때는, 점전하에 의한 전기장이 등방으로 퍼지며, 전류가 없으므로 자기장도 없다. 전하가 점점 빨라지면서, 전기장의 방향은 항상 퍼지는 방향이지만 전기장의 크기는 전하 진행 방향에 수직인 방향으로 집중되며 비등방의 분포를 그리게 된다. 전하와 같은 속도로 움직이는 관성계에서는 여전히 전기장이 등방이므로, 이것은 명백히 관측계에 따라 전기장이 다르게 관측됨을 보여준다. 자기장은 항상 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}= \mathbf{v}\times \mathbf{E}/c^2@@NAMATH_INLINE@@으로 결정되어 전기장과 전하 진행 방향에 수직으로 도넛 모양으로 순환하는 형태를 갖는다. 이것은 정지 좌표계에서 움직이는 전하는 전류라고 생각할 수 있어, 전류에 의해 자기장이 발생하였다고도 말할 수 있다. 속도가 빛의 속도에 가까워질수록, 전기장과 자기장은 더욱 비등방이 된다.

그림 3. 점전하 속도에 따른 전기장과 자기장의 크기 변화 (출처:한국물리학회)

이와 같이 아인슈타인의 특수상대성이론에 의한 전기장과 자기장의 상보적 변환을 연구하는 분야를 상대론적 전자기학(relativistic electromagnetism)이라 부른다. 로런츠변환에 맞는 @@NAMATH_INLINE@@(ct,x,y,z)@@NAMATH_INLINE@@의 사차원 벡터(4-vector) 표현법을 이용하면, 전자기장은 @@NAMATH_INLINE@@4\times4@@NAMATH_INLINE@@ 행렬 형태의 장 텐서(field tensor)로 표현되고, 4개의 맥스웰 방정식은 장 텐서와 사차원 전류밀도를 이용하여 간단하게 축약될 수 있다. 장 텐서의 개념을 이용하면 전자기장의 상보적 변환을 명백히 관찰할 수 있다.