전자기학

전자기학이란, 전자기이론을 여러 가지 상황에 적용하여 전기장과 자기장을 구하고, 전하의 동력학을 탐구하는 학문이다.

목차

전자기학은 전기장과 자기장, 그리고 그들의 상호작용에 관한 이론인 전자기이론을 여러 가지 실체적으로 주어진 상황에 대입하여 문제를 풀고, 그 결과로 전위, 전기장, 자기장 등의 물리량을 얻는 학문이다. 주어진 상황을 기술하기 위해 필요한 실체적 정보는, 전자기장이 있는 구역의 경계에서의 전위나 전기장 등에 대한 공간적 정보와, 전하밀도, 전류밀도 등 전자기장의 원천에 관한 정보로 압축된다. 이론적으로는, 경계 조건(boundary condition)과 장의 원천인 전하와 전류의 분포만 확보되면, 나머지 전체 공간에서의 전자기장을 맥스웰 방정식으로 표현된 미분방정식들을 풀어 계산할 수 있다. 그러나 전자기이론 자체의 간결함에도 불구하고, 도파관(waveguide) 등의 복잡한 경계 조건에서의 전자기장 문제나, 비대칭의 전하밀도에 의한 다중극자(multipole)의 전자기 복사 문제, 진공이 아닌 매체 안에서의 전자기장 문제 등 실체에 적용하는 데에 수학적으로 어려움이 따르는 경우가 많다. 일단 전기장과 자기장의 정보를 얻고 나면, 전하를 띤 입자가 받는 로런츠힘을 계산함으로써 입자의 동력학을 이해할 수 있다.

주어진 경계 조건 하에 전하의 분포가 시간에 따라 변하지 않고 정해져 있을 때, 맥스웰 방정식을 이용하여 주변 공간의 정적인 전기장을 계산할 수 있다. 이러한 분야를 특별히 정전기학(electrostatics)으로 부르기도 한다. 마찬가지로 전하 대신 전류의 분포가 시간에 따라 변하지 않을 때 주변 공간의 정적인 자기장을 계산할 수 있다. 주로 맥스웰 방정식을 다음과 같이 적분으로 변환하여 사용한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho_f /\epsilon \rightarrow \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= Q_{in}/\epsilon@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 1) @@NAMATH_DISPLAY@@\nabla\times\mathbf{B} = \mu \mathbf{J}_f \rightarrow \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \mu I_{in}@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 2)

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{D}= \epsilon \mathbf{E} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu_0 \mathbf{H} + \mu_0 \mathbf{M}@@NAMATH_INLINE@@으로서, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{D}@@NAMATH_INLINE@@는 전기장,@@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{H}@@NAMATH_INLINE@@는 자기장, @@NAMATH_INLINE@@\rho_f@@NAMATH_INLINE@@는 자유 전하밀도, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}_f@@NAMATH_INLINE@@는 자유 전류밀도, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{P}@@NAMATH_INLINE@@는 유전분극, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{M}@@NAMATH_INLINE@@은 자기화, @@NAMATH_INLINE@@\epsilon@@NAMATH_INLINE@@은 유전율, @@NAMATH_INLINE@@\mu@@NAMATH_INLINE@@는 투자율, @@NAMATH_INLINE@@\epsilon_0@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\mu_0@@NAMATH_INLINE@@는 진공의 유전율과 투자율이다.

식 1은, 임의로 에워싸인 공간 안의 전체 전하량(@@NAMATH_INLINE@@Q_{in}@@NAMATH_INLINE@@)과 공간의 경계면을 뚫고 나오는 전기장의 면적 합산 (@@NAMATH_INLINE@@\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@)이 같음을 의미하고, @@NAMATH_INLINE@@Q_{in}@@NAMATH_INLINE@@이 구의 형태, 판 형태 등처럼 대칭적으로 분포되어 있을 때 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}@@NAMATH_INLINE@@의 크기가 균일함을 가정하여 전기장 문제를 풀 수 있다. 식 2는, 임의로 에워싸인 면을 뚫고 나오는 전체 전류(@@NAMATH_INLINE@@I_{in}@@NAMATH_INLINE@@)와 면의 가장자리를 도는 자기장의 선적분 (@@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}@@NAMATH_INLINE@@)이 같음을 의미하고, @@NAMATH_INLINE@@I_{in}@@NAMATH_INLINE@@이 직선 또는 솔레노이드 형태일 때 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@의 크기가 균일함을 가정하여 자기장 문제를 풀 수 있다.

그림 1은 일반적인 정적 전기장 및 자기장 문제의 상황을 나타낸 그림이다. 비록 계산이 복잡할지라도, 주어진 전하밀도와 경계 조건 하에서 전기장을, 주어진 전류밀도와 경계 조건 하에서 자기장을 산술적으로 풀 수 있다.

그림 1. 왼쪽: 일반적인 정전기 문제, 오른쪽: 일반적인 정적 자기장 문제. (출처:한국물리학회)

또한 진공이 아닌 매질 속에서는 유전분극 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{P}@@NAMATH_INLINE@@이나 자기화 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{M}@@NAMATH_INLINE@@의 기여를 고려하여 전기장과 자기장을 계산할 수 있으며 특별히 외부 전기장이나 자기장 없이도 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{P}@@NAMATH_INLINE@@나 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{M}@@NAMATH_INLINE@@이 남아 있을 수 있다. @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{P}@@NAMATH_INLINE@@가 잔류하는 성질을 강유전성, 그 물체를 강유전체라 하고, 마찬가지로 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{M}@@NAMATH_INLINE@@이 잔류하는 성질을 강자성, 그 물체를 강자성체라 한다.

전자기학에서는 전자기장이 정적이지 않고 시간에 따라 변하는 경우도 주요하게 다룬다. 맥스웰 방정식에 의하면, 전하밀도가 없더라도 자기장이 시간에 따라 변하면 전기장이 생기는데, 이를 전자기유도라 한다. 마찬가지로, 전류밀도가 없더라도 전기장이 시간에 따라 변하면 변위전류에 의해 자기장이 발생한다. 진공에서 전하밀도와 전류밀도가 없는 경우에 대하여 (@@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}_f=0@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\rho_f=0@@NAMATH_INLINE@@) 전기장과 자기장의 파동 해를 구하면 전자기파가 된다. 전자기파는 빛이고, 전자기파의 전파속도는 빛의 속도인 @@NAMATH_INLINE@@c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}=@@NAMATH_INLINE@@299,792,458 m/s 이다.

맥스웰 방정식에 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}_f=0@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\rho_f=0@@NAMATH_INLINE@@을 대입하고, 연립하면 다음의 식이 도출된다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\nabla^2\mathbf{E}=\mu_0 \epsilon_0{{\partial^2 \mathbf{E}}\over{\partial\, t^2}}, \nabla^2\mathbf{B}=\mu_0 \epsilon_0{{\partial^2 \mathbf{B}}\over{\partial\, t^2}}.@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 3)

식 3의 파동해는 식 4와 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{E}=\mathbf{E}_0 e^{i(kx-\omega t)}, \mathbf{B}={\mathbf{E}_0\over c} e^{i(kx-\omega t)}.@@NAMATH_DISPLAY@@ (식 4)

이 때 각속도 @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@와 파수 @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@의 비율이 위상속도(phase velocity)이며 @@NAMATH_INLINE@@\omega=ck@@NAMATH_INLINE@@이다.

경계 조건이 없는 진공에서는 전기장과 자기장은 평면파가 된다. 그림 2는 평면파 전자기파를 보여준다. 그러나 일반적으로 도체의 파동 길잡이(waveguide) 또는 도파관이 있어 그 모양을 따라 전위의 경계 조건이 주어지는 경우, 전자기장은 복잡한 형태를 띠게 된다. 또한 전자기장이 있는 공간이 진공이 아닌 경우 유전율이나 투자율이 전자기파의 파장에 따라 달라질 수 있어 복잡성이 더해진다.

그림 2. 전자기파 ()

자유 전하밀도나 전류밀도가 있으며 시간에 따라 진동하는 경우 전자기 복사가 일어난다. 전하밀도나 전류밀도가 등방이 아닌 형태로 있으면, 전기쌍극자나 자기쌍극자, 또는 전기 사중극자(electric quadrupole)등 이른바 다중극자(multipole) 항으로 분해하여 생각할 수 있다. 이들 다중극자가 시간에 따라 진동하면 전자기파가 발생한다. 다중극자 주변으로 퍼져 나가기 때문에 평면파의 형태가 아니며 복잡한 계산을 통해 전자기장의 강도를 알 수 있다.

현대 과학에서는 전하를 띤 입자가 빛의 속도에 가깝도록 매우 빠르게 움직이는 경우가 매우 많이 응용되고 있다. 전하를 띤 입자가 매우 빠르게 원운동하면 그 접선 방향으로 결맞는 상태의 빛이 나오게 되는데 이를 방사광(synchrotron radiation)이라 하고, 이 빛을 제공하여 빛을 활용한 여러 가지 실험을 하도록 하는 설비가 방사광 가속기(accelerator)이다. 또한 입자를 가속시켜 입자간 충돌 실험을 통해 물질의 근원에 대해 연구하게 하는 설비가 입자 가속기(particle accelerator)이다. 이들의 운동과 전자기장을 정확히 기술하기 위해서는 갈릴레이변환이 아닌 로런츠변환을 따르는 특수상대성이론이 필요하다. 로런츠변환에서는 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@와 위치 @@NAMATH_INLINE@@(x,y,z)@@NAMATH_INLINE@@가 더이상 독립적이지 않고, 관측하는 관성좌표계의 속도에 따라 서로 얽혀 상호 변환된다. 따라서 한 좌표계에서는 전기장으로 나타나던 것이 매우 빨리 움직이는 다른 좌표계에서는 자기장으로 나타나기도 한다.

그림 3. 상대론적 전자기학의 예. 점전하 속도에 따른 전기장과 자기장의 크기 변화 (출처:한국물리학회)

그림 3은 점전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 매우 빠른 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 움직이는 경우 정지 좌표계에서 관측되는 전기장과 자기장의 크기를 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@에 따라 나타내었다. 먼저 전하가 정지해 있을 때는, 점전하에 의한 전기장이 등방으로 퍼지며, 전류가 없으므로 자기장도 없다. 전하가 점점 빨라지면서, 전기장의 방향은 항상 퍼지는 방향이지만 전기장의 크기는 전하 진행 방향에 수직인 방향으로 집중되며 비등방의 분포를 그리게 된다. 전하와 같은 속도로 움직이는 관성계에서는 여전히 전기장이 등방이므로, 이것은 명백히 관측계에 따라 전기장이 다르게 관측됨을 보여준다. 자기장은 항상 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}= \mathbf{v}\times \mathbf{E}/c^2@@NAMATH_INLINE@@으로 결정되어 전기장과 전하 진행 방향에 수직으로 도넛 모양으로 순환하는 형태를 갖는다. 이것은 정지 좌표계에서 움직이는 전하는 전류라고 생각할 수 있어, 전류에 의해 자기장이 발생하였다고도 말할 수 있다. 속도가 빛의 속도에 가까워질수록, 전기장과 자기장은 더욱 비등방이 된다.

로런츠변환에 맞는 @@NAMATH_INLINE@@(ct,x,y,z)@@NAMATH_INLINE@@의 사차원 벡터(4-vector) 표현법을 이용하면, 전자기장은 @@NAMATH_INLINE@@4\times4@@NAMATH_INLINE@@ 행렬 형태의 장 텐서(field tensor)로 표현되고, 4개의 맥스웰 방정식은 장 텐서와 사차원 전류밀도를 이용하여 간단하게 축약될 수 있다. 장 텐서의 개념을 이용하면 전자기장의 상보적 변환을 명백히 관찰할 수 있다.