관성좌표계

관성좌표계는 힘이 작용하고 있지 않은 물체가 그 안에서 균일한 운동을 유지하는 기준계이다. 관성좌표계는 시간과 공간을 균질하고 등방위적으로 기술하며, 이 방식은 시간에 따라 달라지지 않는다. 관성기준계, 관성기준틀, 혹은 관성계라고도 한다.

관성좌표계들은 서로에 대해 가속하지 않고 균일한 운동을 한다. 균일한 운동(uniform motion)이란 속도의 크기와 방향이 일정한 운동이다. 한 관성좌표계에서의 측정값은 다른 관성좌표계에서의 측정값과 단순한 변환 관계를 갖는다. 이 변환은 뉴턴역학의 경우는 갈릴레이변환이고, 특수상대론의 경우는 로런츠변환이다. 한 관성기준계와 이들 변환에 의해 연관되는 기준계는 모두 관성기준계이다. 관성운동이 시공간의 지름길(geodesic) 운동으로 대체되는 일반상대론의 맥락에서는, 광역적 개념에서의 관성좌표계는 존재하지 않는다. 하지만, 시공간의 곡률과 기조력(tidal force)이 무시될 수 있을 정도로 충분히 작은 영역에서는 근사적인 관성좌표계가 정의될 수 있다.

목차

뉴턴역학의 맥락에서 관성기준계는 뉴턴의 제일법칙이 성립하는 기준계이다. 즉, 힘이 작용하고 있지 않은 물체는 관성기준계에서 등속운동을 한다. 갈릴레이변환에 의해 연관되는 관성기준계들은 모두 동등하다는 것이 상대성원리이다. 이는 모든 관성기준계에서 뉴턴의 제일법칙이 성립한다는 것을 의미한다. 상대성원리는 특수상대론에서 보다 더 확장된다. 즉, 특수상대론의 관성기준계는 뉴턴의 운동법칙뿐만 아니라 모든 물리법칙이 성립하는 기준계이다. 특수상대론의 관성기준계들은 로런츠변환의 관계를 갖는다.

관성기준계들에서 물리법칙은 동일할 뿐만 아니라, 가장 단순한 형태를 갖는다. 물체의 운동을 관측할 때 적합하지 않은 기준계를 선택하면 물체의 운동이 복잡해질 수 있다. 예컨대, 정지한 물체를 회전하는 기준계에서 관측한다면, 물체는 원운동을 하고 있는 것으로 보일 것이다. 공간 간격이나 시간 간격이 균질하지 않은 기준계를 선택할 때도 마찬가지로 실재하지 않는 복잡성이 드러나게 될 것이다. 비관성 기준계에서 물체의 운동을 제대로 기술하기 위해서 관측자는 관성력을 도입해야만 한다. 하지만 힘의 근원이 되는 물체가 존재하지 않는다는 점에서 관성력은 실재하는 힘이 아니다. 관성력은 비관성 기준계의 가속도에 따라 달라지며, 관성기준계에서는 사라지는 힘이다. 이와 같은 맥락에서, 모든 관성기준계에서 물리법칙은 동일하며 가장 단순한 형태를 갖는다고 말할 수 있다.

법칙의 단순성을 포함해서 특수상대론의 상대성원리는 다음과 같이 쓸 수 있다:

관성기준계 A에서 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@인 입자에 대한 뉴턴의 제이법칙은 다음과 같다: @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{F} =m\mathbf{a}.@@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@는 입자에 작용하는 힘의 합이고 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{a}@@NAMATH_INLINE@@는 관성기준계에서 정지한 관측자가 관측하는 입자의 가속도이다. 여기서 힘 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@는 전자기력, 중력, 핵력 등 입자에 작용하는 "실제적인" 모든 힘을 의미한다.

한편, 각속도 @@NAMATH_INLINE@@\boldsymbol{\Omega}@@NAMATH_INLINE@@로 회전하는 기준계 B에서 동일한 입자에 대한 제이법칙은 다음과 같이 주어진다. @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{F}' =m\mathbf{a}'.@@NAMATH_DISPLAY@@여기서 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{a}'@@NAMATH_INLINE@@은 회전 기준계에서 관측되는 가속도를 의미한다.

두 방정식의 형태는 같아 보인다. 하지만 이 기준계에서 힘 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}'@@NAMATH_INLINE@@은 관성기준계에서의 힘 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@와 다르다. 입자의 운동을 제대로 기술하기 위해서는 추가적인 힘들이 필요한데, 수학적인 유도과정을 생략하고 결과만 소개하면 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{F}'=\mathbf{F}-2m\boldsymbol{\Omega}\times \mathbf{v}_B -m\boldsymbol{\Omega}\times(\boldsymbol{\Omega}\times \mathbf{r}_B) -m\frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt}\times \mathbf{r}_B .@@NAMATH_DISPLAY@@여기서 벡터 @@NAMATH_INLINE@@{\mathbf{r}_B}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{v}_B @@NAMATH_INLINE@@ 는 각각 회전 기준계에서 입자의 위치와 속도를 나타내며, 부호 @@NAMATH_INLINE@@\times@@NAMATH_INLINE@@는 벡터곱을 의미한다.

@@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@ 이외에 추가적으로 나타나는 항들이 바로 회전 기준계에서의 관성력들이다. 첫째 항은 코리올리힘(Coriolis force), 둘째 항은 원심력, 셋째 항은 오일러 힘(Euler force)이라고 불린다. 이 힘들은 다음과 같은 성질을 공유한다: @@NAMATH_INLINE@@\boldsymbol{\Omega}= 0@@NAMATH_INLINE@@일 때, 이 힘들은 사라진다. 즉, 관성기준계에서 관성력은 없다; @@NAMATH_INLINE@@\boldsymbol{\Omega}@@NAMATH_INLINE@@ 값에 따라 관성력의 크기와 방향이 달라진다; 관성력은 기준계 안의 모든 물체들에 작용한다; 관성력에 대한 물리적인 원천이 존재하지 않는다. 즉, 관성력은 물질과의 상호작용에서 기인하지 않는다; 중력, 전자기력, 핵력 등의 경우 거리가 멀어질수록 작아지는 것에 반해, 관성력은 먼거리에서도 사라지지 않는다. 예컨대, 원심력은 회전축으로부터 멀어질수록 더욱 커진다.

실재하는 힘인 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@에 대해서는 모든 관측자가 동일한 관측을 한다. 하지만 비관성 기준계의 관측자는 추가적인 관성력을 필요로 한다. 관성력을 불필요하게 도입하지 않기 때문에 관성기준계에서 물리법칙은 더 단순하다.