전위

전위보다 전위차를 먼저 정의하자. 균일한 전기장이 있는 경우 전기장 방향으로 @@NAMATH_INLINE@@\Delta l@@NAMATH_INLINE@@만큼 떨어진 두 점 사이의 전위차 @@NAMATH_INLINE@@\Delta V@@NAMATH_INLINE@@는 전기장의 세기와 떨어진 거리의 곱, @@NAMATH_INLINE@@E \Delta l@@NAMATH_INLINE@@의 음의 값에 의해 정의 된다. @@NAMATH_DISPLAY@@\Delta V= -E \Delta l.@@NAMATH_DISPLAY@@

한편, 시험 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@를 이 점에 갖다 놓으면 @@NAMATH_INLINE@@F=qE@@NAMATH_INLINE@@만큼 힘을 받고, 이 힘을 받아 @@NAMATH_INLINE@@\Delta l@@NAMATH_INLINE@@만큼 움직이면 이 힘은 @@NAMATH_INLINE@@\Delta W= F \Delta l= qE\Delta l@@NAMATH_INLINE@@만큼 일을 한다. 따라서 전위차는 단위 전하가 받는 일 @@NAMATH_INLINE@@\Delta W/q= F \Delta l/q= E\Delta l@@NAMATH_INLINE@@의 음의 값이 된다.

일반적으로 움직인 거리가 전기장 방향이 아닌 경우, 벡터를 사용하면, 전위차는 @@NAMATH_DISPLAY@@\Delta V= -\mathbf{E}\cdot \Delta \mathbf{l}@@NAMATH_DISPLAY@@ 로 표시된다.

앞에서 두 점을 각각 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@로 표시하고 각 점에서의 전위를 @@NAMATH_INLINE@@U_A@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@U_B@@NAMATH_INLINE@@로 표시하면 전위차는 나중 점 (즉 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@점)과 처음 점 (즉 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@점)의 전위값 @@NAMATH_INLINE@@U_A@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@U_B@@NAMATH_INLINE@@의 차이 @@NAMATH_INLINE@@U_B-U_A@@NAMATH_INLINE@@가 되므로, @@NAMATH_DISPLAY@@U_B-U_A=\Delta V= -\mathbf{E}\cdot \Delta \mathbf{l}@@NAMATH_DISPLAY@@ 의 관계가 된다. 즉 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@점이 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@점보다 @@NAMATH_INLINE@@E \Delta l@@NAMATH_INLINE@@만큼 전위가 높다. 즉, 시험 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@점에서 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@점으로 움직이면 전기장은 @@NAMATH_INLINE@@q E \Delta l=-q\Delta V@@NAMATH_INLINE@@ 의 일을 한다.

위의 관계에서 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@를 고정하고 임의의 점을 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@로 하면 @@NAMATH_DISPLAY@@U_B=U_A -\mathbf{E}\cdot \Delta \mathbf{l}@@NAMATH_DISPLAY@@ 이 되어 각 점에서의 전위를 정의 할 수 있다.

전기장이 균일 하지 않은 경우는 적분을 해야 한다. 우선 떨어진 두 점이 무한히 가깝다고 하자. 그러면 이 두 점 사이에서는 전기장이 균일하다고 가정해도 틀리지 않다. 따라서 @@NAMATH_INLINE@@\Delta \mathbf{l}@@NAMATH_INLINE@@이 무한히 작다는 점만 염두에 두면 전기장이 균일하지 않은 경우에도 @@NAMATH_DISPLAY@@\Delta V= -\mathbf{E}\cdot \Delta \mathbf{l}@@NAMATH_DISPLAY@@ 를 여전히 사용할 수 있다. @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@를 고정한 경우 무한히 가깝게 놓인 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@ 점에서의 전위를 구할 수 있고 이를 반복하면 유한하게 떨어진 다른 점 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@에서의 전위는 이 과정에서의 전위차를 더하여 얻을 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@U_P=U_A -\sum_i\mathbf{E}_i\cdot \Delta \mathbf{l}_i.@@NAMATH_DISPLAY@@이를 연속인 경우에 적용하면 임의의 점 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@에서의 전위는 다음의 적분꼴이 된다. @@NAMATH_DISPLAY@@U_P=U_A -\int_A^P\mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot d \mathbf{l}_i.@@NAMATH_DISPLAY@@혹은 임의의 점 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@의 위치를 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@로 표시하면 그 점의 전위는 @@NAMATH_DISPLAY@@U(\mathbf{r})=U(\mathbf{r}_0) -\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{l}_i@@NAMATH_DISPLAY@@

로 표시된다. 전위값이 기준점의 선택에 따라 다를 수 있음에 주의하라. 물리적으로 의미를 갖는 것은 전위가 아니라 전위차이고 전위차는 기준점의 선택과 무관하다.

점 전하 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@가 원점에 있는 경우 각 점에서의 전위는 @@NAMATH_INLINE@@V(\mathbf{r}) =k\frac{Q}{|\mathbf{r}|}==k\frac{Q}{r}@@NAMATH_INLINE@@ 의 간단한 형태로 주어 진다. 이 경우 기준점은 무한히 먼 점으로 선택하였다.

전기를 잘 통하는 전도체의 경우 전도체 내부의 전기장은 0이기 때문에 전도체의 표면은 전위가 같은 등전위 면을 형성한다.