전기장

전하 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@ 주위에 있는 다른 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@는 쿨롱의 법칙에 따라 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@로부터 힘을 받는다. 이 힘을 다른 관점에서 보면 전하 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@가 주변 공간의 성질을 바꾸었고, 바뀐 공간이 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@에 힘을 준다고 묘사할 수 있다. 전기장은 이렇게 바뀐 공간의 성질을 수학적으로 표시한 것이다.

좀더 정량적으로 이해하기 위해 큰 양의 전하 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@와 양의 점전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@ (흔히 시험전하( test charge)라고 한다)가 있는 경우를 생각하자. 이 때 점전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 있는 위치에서의 전기장 벡터(electric field vector), @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}@@NAMATH_INLINE@@는 점전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@에 작용하는 전기력 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@를 시험전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@로 나눈 양으로 정의한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}@@NAMATH_DISPLAY@@

전기장 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}@@NAMATH_INLINE@@의 단위는 N/C이다. 시험전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 놓여진 모든 점에서 이 양을 정할 수 있고 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}@@NAMATH_INLINE@@는 공간 상의 각 점 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@마다 다른 값을 가질 수 있어 결국은 벡터함수 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 이 벡터 함수 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@가 전기장이다. 이 때 전기장 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@는 전하, 또는 전하의 분포 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@에 의해 생성된 것이지 시험전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@에 의해 생성된 것이 아니라는 점에 유의하라. 다시 말해 시험 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 없어도 @@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@에 의해 공간 중에 형성된 것이다.

전하@@NAMATH_INLINE@@Q@@NAMATH_INLINE@@가 점전하로서 원점에 놓여져 있다고 하자. 이 때 위치 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@에 있는 시험전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 받는 쿨롱 힘은

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{F}(\mathbf{r})=k\frac{q Q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}@@NAMATH_DISPLAY@@

이다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\hat{\mathbf{r}}@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@방향으로 크기가 1인 벡터이다. 앞의 정의에 따라 이 점에서의 전기장 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@는

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{F}}{q}=k\frac{ Q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}@@NAMATH_DISPLAY@@

이 된다.

전기장의 개념은 중력장과 비교하면 이해하기가 쉽다. 지구 표면에서 중력장 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{g}@@NAMATH_INLINE@@이 있고 이 중력장에 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@ 이 있으면 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}= m\mathbf{g}@@NAMATH_INLINE@@의 힘을 받는다. 한편 뉴턴의 중력 이론 관점에서 보면 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@의 물체는 지구 표면 상에서 지구가 잡아 당기는 힘 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}=-G \frac{mM}{R^2} \hat{\mathbf{r}}@@NAMATH_INLINE@@을 받는다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@G@@NAMATH_INLINE@@은 뉴턴의 만유인력상수, @@NAMATH_INLINE@@M@@NAMATH_INLINE@@은 지구질량, @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@은 지구 반지름을 표시한다. 따라서 중력장은 @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{g}=-G \frac{M}{R^2} \hat{\mathbf{r}}@@NAMATH_DISPLAY@@이 된다.

여러 점 전하가 분포하는 경우, 전기장은 각 점전하가 만드는 전기장의 벡터합이 된다. @@NAMATH_INLINE@@N@@NAMATH_INLINE@@개의 점전하 @@NAMATH_INLINE@@Q_1, Q_2, \cdots, Q_N@@NAMATH_INLINE@@가 각각 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \cdots, \mathbf{r}_N@@NAMATH_INLINE@@의 위치에 분포한 경우, 전기장 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{E}(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@은

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{N} k \frac{Q_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^2}\hat{n}_i@@NAMATH_DISPLAY@@

이다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}_i@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)@@NAMATH_INLINE@@방향의 크기가 1인 벡터 즉, @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}_i=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|@@NAMATH_INLINE@@이다.