연산자

요약 수학·물리학·공학용어.

작용소(作用素)라고도 한다. 경우에 따라서 다소 다른 뜻으로 사용되나, 가장 엄밀하게 말한다면 사상(寫像)과 거의 같은 뜻으로서, 특히 선형공간(線形空間) ·함수공간 또는 그들의 부분집합 사이의 사상을 가리키는 경우가 많다. 이 사상에서 공간 X의 원소 u가 공간 Y의 원소 v와 대응할 때, 이 대응을 함수기호 v=f(u)로 나타내는 대신 v=Tu로 표기하고, 이 T를 연산자라고 하는 일도 있다. u의 집합 X'(X'⊆X)를 정의역(定義域), v의 집합 Y'(Y'⊆Y)를 치역(値域)이라 한다.

함수공간에서의 연산자는 일정한 계산규칙, 이를테면 g=Tf라 하고

  

등에 의하여 정해지는 일이 많다. 이 식에서 앞의 식은 미분연산자, 뒤의 식은 적분연산자의 일례이다. 이와 같은 경우, 연산자의 정의역은 경계조건 등에 의하여 적당히 정해지나 연산자라는 말은 어떤 함수에 다른 함수를 대응시키는 조작을, 정의역을 명시하지 않고 막연히 가리키는 데 사용하는 경우도 있다. 적당한 성질을 가지고 있는 공간에 작용하는 적당한 연산자 상호간에 그 합 ·곱 등의 대수적 산법이나 연산자로서의 수렴의 개념을 정할 수 있다.