함수

요약 변수 x와 y 사이에 x의 값이 정해지면 따라서 y값이 정해진다는 관계가 있을 때, y는 x의 함수라고 한다.

변수 x와 y 사이에 x의 값이 정해지면 따라서 y값이 정해진다는 관계가 있을 때, y는 x의 함수라고 한다. 또 x를 독립변수(獨立變數), y를 종속변수(從屬變數)라고 하는데 이것은 P.G.L.디리클레에 의한 정의이다.

함수라는 말을 처음으로 사용한 사람은 G.W.F.라이프니츠였다. 함수라는 개념은 수학의 역사와 더불어 존재했었다고 보아도 될 것이다. 특히 R.데카르트의 좌표기하학(座標幾何學)은 함수 개념 없이는 성립될 수 없다.

라이프니츠에 이어 베르누이가(家)의 수학자들이나 L.오일러 등이 함수의 뜻을 확장하였으나 오일러에서도 아직 함수는 변수와 상수에 의한 식이라는 생각을 벗어나지 못하고 있었다.

현재의 함수의 기초를 구축한 것은 J.B.J.푸리에 및 A.L.코시이다. 코시의 함수에 대한 정의는 디리클레의 정의와 가까운 것이었다. 디리클레는 임의의 함수를 푸리에급수로써 표현하는 연구의 결과, 하나의 함수는 동일한 법칙에 의해 관계를 가지지 않아도 되며 식으로 표시할 필요성도 없다는 것으로 다음과 같은 정의에 도달하였다.

‘y가 x의 함수일 때, 기호로
y=f(x), y=g(x), y=(x)

와 같이 나타낸다. 이때, x=a로 되는 함수값을 f(a) 등으로 나타낸다. 또 독립변수가 2개 이상의 함수를 다변수함수라고 한다. z=f(x,y)는 z가 x와 y의 함수임을 보인다.

실생활에서도 함수에 해당하는 것은 매우 많으며, 예를 들면 열차의 운임은 거리(km 수)의 함수이다. 즉, 거리가 정해지면 그것에 대응하여 운임이 결정된다. 이와 비슷한 관계는 실로 헤아릴 수 없을 만큼 많다. 많은 함수들은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

    
    

         
    
    
     

그러나 어떤 장소에 있어서의 어느 날의 시각과 기온의 관계 등은 시각에 대하여 특정한 기온과 대응하고 있으므로 함수관계이나 식으로 표시할 수는 없다. 이 경우 온도를 그래프로 기록시킬 수도 있으나 함수 중에는 식 표시도 그래프 표시도 할 수 없는 것이 있다.

함수를 사상(寫像:mapping)이라고도 한다. x와 y가 모두 실수일 때를 실함수(實函數), 복소수일 때를 복소함수라 하며, 또 x와 y가 모두 집합이거나, 추상공간(抽象空間)일 때의 함수를 보통 작용소(作用索) 또는 연산자(演算子)라고 한다.