일차함수

요약 y=ax+b (a,b는 상수, a≠0)와 같이 x의 함수 y가 x의 일차식으로 표시된 함수

우리나라의 화폐단위와 두 배의 환율 차이를 가지고 있는 국가 A가 있다고 가정해보자. 예를 들어 우리나라 돈 1,000이면 A 국가 화폐단위로 2,000이 되고, 우리나라에서 5,000이면 A 국가에서는 10,000이 된다. A국가로 여행을 가려 하는데 가지고 있는 돈을 환전하려고 한다. 만약 x를 환전하면 이는 A국가의 화폐로 2x가 될 것이다. 환전하고자 하는 돈을 x, 얼마로 환전할 수 있는지 결괏값을 y라 하면, y=2x라는 식을 세울 수 있다.

여행을 다녀와서 A국가의 화폐로 10이라는 돈이 남았다고 하자. 그리고 얼마 뒤 다시 A국가로 여행을 가고자 한다. 환율이 동일하다고 할 때 우리나라 돈 x를 환전하면 역시 A국가 화폐 2x를 받을 수 있다. 그러나 이번에는 원래 가지고 있던 A국가 화폐 10이 더 있으므로 여행에 가지고 갈 수 있는 돈은 2x+10이 된다. 이를 식으로 나타내면 y=2x+10이다. 환율은 일정하므로 환전해서 받을 수 있는 돈의 비율은 여전히 같지만, 거기에 단지 10이 추가된 형태이다.

이와 같이 y=ax+b(a≠0)라는 x에 대한 일차식으로 표현되며 주어진 값 x를 일정한 비율로 변화시키는 함수를 일차함수라 한다. a는 위의 예시에서의 환율과 같은 역할, 즉 일정한 비율을 나타내며 b는 위의 예시에서의 잔돈과 같은 역할, 즉 주어진 값과 관계없이 항상 남아있는 값을 가리킨다.

y=ax의 그래프

좌표평면 위에 일차함수 y=2x의 그래프를 그려보자. 몇 개의 점을 찍어보면 다음과 같다.

이 점들을 자취로 하는 선을 그려 이어보면 아래와 같은 그래프를 확인할 수 있다.

이와 같이 y=ax (a≠0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이다. 여기서 상수 a는 직선의 기울기를 나타낸다. 아래 그래프에서 y=2x의 그래프와 y=-x그래프를 비교해보자.

y=2x의 그래프는 기울기가 2이고 x의 값이 커질 수록 y의 값도 커진다. 이러한 함수를 증가함수라 한다. 그러나 y=-x의 그래프는 x의 값이 커질 수록 y의 값은 작아지는데 이런 함수를 감소함수라 한다. 기울기 a의 값이 양수이면 증가함수이고 음수이면 감소함수이다. 또한 a의 절대값이 클 수록 직선의 기울기도 커지고 그래프의 직선이 가파르게 변한다.

y=ax+b의 그래프

일차함수 y=2x+1의 그래프를 그려보자. 몇 개의 점을 찍어보면 다음과 같다.

점들을 이어보면 다음과 같은 직선 그래프를 얻을 수 있다.

이 그래프는 y=2x의 그래프와 기울기는 동일하지만 그래프가 y축으로 1만큼 위로 올라간 곳에 위치하고 있으며 원점이 아닌 점 (0,1)을 지난다. y=ax+b의 꼴의 일차함수에서 b는 그래프의 위치를 결정하며 이때 b를 y절편이라 한다. y=ax+b에서 x에 0을 대입하면 y=b의 값을 얻을 수 있으므로 그래프는 항상 (0,b)를 지난다. 그러므로 y=ax+b의 그래프를 그릴 때는 좌표평면에 먼저 점 (0,b)를 표시하고 이 점을 지나는 기울기 a인 직선을 그리면 된다.

a'x+b'y+c'=0 꼴의 일차함수

a'x+b'y+c'=0 (a'≠0, b'≠0)의 꼴로 주어진 일차함수 식을 y=ax+b의 꼴로 정리해보자.

양변을 b'로 나누면 a'/b'x+y+c'/b'=0이 되고 이를 y로 정리하면 y=a'/b'x-c'/b'이 된다. 즉, a'x+b'y+c'=0의 꼴로 주어진 일차함수에서의 그래프의 기울기는 -a'/b'이고 y절편은 -c'/b'이다.