사상

요약 두 집합 X, Y가 존재할 때, 집합 X의 각원소 x를 집합 Y의 하나의 원소 y로 대응시키는 관계를 말한다. 대응, 변환 또는 함수라고도 한다.

한 집합 X의 각 원소 x에 집합 Y의 하나의 원소 y를 대응시키는 관계 f를 X에서 Y 안으로의 사상(대응, 변환 또는 함수)이라 한다. y를 f에 의한 x의 상(像:image)이라 하고 f(x)=y로 나타내며, y를 상으로 가지는 X의 원소 전체를 y의 원상(原像) 또는 역상(逆像:inverse image)이라 한다. 또 X를 f의 정의구역, f에 의한 X의 원소의 상의 집합 f(X)를 f의 치역이라 하며, 이때 Y를 f의 공변역이라 하고, 특히 Y와 f(X)가 일치할 때 f를 X에서 Y 위로의 사상(全射寫像:surjection)이라 한다.

X도 Y도 수일 때가 통상적인 뜻으로서의 함수이고, X에서 X 위로의 사상을 특히 변환이라고 할 때가 많다. 그 밖에 X도 Y도 함수공간일 때 f는 작용소 또는 연산자, X가 함수공간이고 Y가 수일 때, f는 범함수(汎函數:functional)라 한다. X에서 Y 위로의 사상 f에서 Y의 각 원소 y의 원상이 X의 오직 하나인 원소로 대응될 때 f를 1 대 1 대응(全單射寫像:bijection)이라 한다. 그때 y에 그 원상 x를 대응시켜서 얻는 Y에서 X 위로의 사상을 f의 역사상이라 하고, x=f^-1(y)로 표시한다.

수학에서 사상을 변환또는 함수라 할 때도 있으나 변환은 변환군과 같이 기하학적인 경우에 많이 사용되며, 함수는 해석적인 경우에 주로 쓰인다. 그러나 이들 사이에 엄밀한 구별은 없다. 다만 경우에 따라서 습관적으로 구별하여 쓰고 있다.