정의역

요약 주어진 함수에 대해 그 함수가 정의되는 모든 수의 집합을 말한다.

집합 X에서 집합 Y로의 함수 f에 대하여 X를 f의 정의역이라고 한다. 다음과 같이 집합 X={-1, 0, 1}에서 집합 Y={0, 1}로의 함수 f가 있다고 하자. 그리고 그림과 같이 이 함수를 f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1로 정의한다. 

함수를 위와 같이 생각할 때, 함수에 먼저 '넣는 수'들이 정의역이다. 즉 f(x)의 괄호 안에 넣어지는 수가 정의역에 포함된 숫자이다. 예를 들어, 위의 함수 f에 -1을 넣으면 함수값이 숫자 1이 되어 나오고(f(-1)=1), 0을 넣으면 함수값이 숫자 0이 되어 나오며(f(0)=0), 1을 넣으면 1이 되어 나온다.(f(1)=1)

그러므로 좌측에 위치한 X={-1, 0, 1}이 함수 f의 정의역이 된다.  

그래프를 가지는 함수

이번에는 다음과 같은 그래프를 가지는 함수에 대해 생각해보자.

그래프가 그려진 x축(가로축)의 범위는 -1≦x≦1, 즉 -1에서 1 사이임을 볼 수 있다. 이 범위가 함수 g의 정의역이 된다. 여기서 함수 g의 정의역은 X={x|-1≦x≦1}라고 할 수 있다.
 

함수가 정의되지 않는 경우

함수가 제대로 정의되려면 정의역 안에 있는 숫자들은 반드시 한 번 함수 속에 넣어져 그 결과값을 가져야 한다. 다음은 X의 1이 함수값을 가지지 않는 경우인데, 이러한 경우에는 함수 f가 잘 정의되었다고 할 수 없다.

또한 정의역에서 하나의 숫자는 단 하나의 함수값밖에 가지지 못한다. 다음의 경우처럼 X의 -1이 0과 1 두 개의 값을 가지면, 함수 f는 잘 정의되었다고 할 수 없게 된다.