공역

요약 집합 X의 임의의 원소 x에 대응하는 집합 Y의 원소 y를 나타내는 함수 y＝f(x)에서 집합 Y를 부르는 말이다. 공변역이라고도 한다.

공변역이라고도 한다. 여기서 X는 함수 f(x)의 정의역이라고 한다. 한편, y의 값을 x에 대한 함수값이라 하며, 함수값 전체의 집합을 치역이라 한다. 일반적으로 치역은 공역의 이다. 치역이 공역의 일 때에는 f를 X에서 Y 안으로의 함수라고 한다. 반면, 치역과 공역이 같을 때에는 f를 전사함수 또는 X에서 Y 위로의 함수라고 한다.

알기 쉬운 설명

함수 f를 X에서 Y로의 함수라 할 때, Y를 공역이라고 한다. 다음과 같은 함수 f(x)를 생각해보자.

이때의 집합 Y={1, 2, 3}가 공역이 된다. 즉, 공역은 함수의 화살표를 받을 수 있는 영역을 모두 일컫는 개념이다.

그러나 다음과 같이 공역은 반드시 집합 {f(x)}와 일치하지 않을 수도 있다.

위와 같은 경우 집합 Y에서 함수의 화살표를 받은 원소들, 즉 {f(x)}는 {2, 3}뿐이며, Y 안에 있는 1은 함수값으로 선택받지 못했다. 그러나 이러한 경우에도 여전히 공역은 집합 Y={1, 2, 3} 전체가 된다.

여기서 함수값으로 선택된 집합 {2, 3}은 공역의 부분집합인 '치역'이라고 하는데, 치역은 공역의 부분집합이므로 공역과 같거나 공역보다 작다.

이차함수에서의 공역

이제 실수 전체의 집합 R에서 R로 가는 이차함수 f(x)=x²를 생각해보자. f:R→R 이므로 공역은 실수 전체의 집합 R이 된다. f(x)의 그래프는 다음과 같다.

여기서 y=x²의 그래프는 x축 위쪽(y≥0)에만 분포하고 있으므로, 치역은 y≥0 영역이 된다. 반면에 x축 아래쪽에 위치한 y<0 영역으로는 그래프가 지나가지 않지만, 그래프가 지나가지 않아도 즉 함수값으로 선택받지 않아도 여전히 공역은 공역이다. 그러므로 여기서 공역은 y≥0 영역과 y<0 영역을 모두 합친 실수 전체 영역이 된다. 이러한 경우에는 치역이 공역보다 작다.

또한 공역의 모든 원소가 함수값으로 선택을 받는 경우에는 공역과 치역이 같아지며, 이러한 함수를 전사함수라고 한다.