전사함수

요약 집합 X에서 Y로의 함수 f:X→Y에서 f의 치역인 f(X)가 공역인 Y와 일치할 때, 즉 f(X)=Y일 때 함수 f를 전사함수라 한다.

집합 X에서 Y로의 함수 f(x)가 집합 Y와 일치할 때 함수 f는 전사함수에 해당한다. f(x)에 대하여 ‘X를 2로 나누었을 때의 나머지’로 정의해보자. 두 집합 X,Y를 X={1,2,3,4}, Y={0,1}이라 할 때 함수 f:X→Y를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

공역인 집합 Y의 0,1 모두가 함수 f의 화살표로 선택 받은 것을 볼 수 있다. 이와 같이 공역과 치역이 일치하여 공역의 모든 원소가 함수 f의 선택을 받게 되는 경우 이 함수 f를 전사함수라고 한다. 즉, 정의역 X의 모든 원소 x로 만들어지는 모든 f(x) 값을 모은 함수를 f(X)라 하면, f(X)=Y일 때 함수 f:X→Y가 전사함수인 것이다.

만약 집합 Z를 Z={0,1,2}로 잡으면 함수 f:X→Z는 다음과 같다.

이 때 공역 Z의 원소 2는 어떤 x의 선택도 받지 못한 채로 남게 된다. 이렇게 되면 f(X)≠Z가 되어 함수 f:X→Z는 전사함수가 아니게 된다.

이번에는 함수 g(x)=x²의 그래프를 살펴보자.

만약 함수 g를 실수 전체의 집합 R에서 R로 가는 함수라 한다면 공역이 실수 전체의 집합 R이 되므로 함수 g(x)는 전사함수가 될 수 없다. 왜냐하면 이 그래프에서 확인할 수 있듯이 함수 g(x)=x²가 지나가는 영역이 y≥0이어서 함수의 선택을 받지 못하는 영역(y<0)이 존재하기 때문이다. 그러므로 g:R→R은 전사함수에 해당하지 않는다.

그러나 함수 g의 공역을 실수 전체의 집합이 아닌 0과 양의 실수의 집합인 R⁺로 잡으면 공역 전체를 남김없이 그래프가 지나가므로 이 때에는 전사함수(g:R→R⁺)가 된다.

그러므로 공역이 어떤 집합이냐에 따라 같은 함수라도 전사함수인지 아닌지 여부가 달라질 수 있다.