변환군

요약 집합 S의 원소 x를 S의 원소 x′로 옮기는 변환을 σ, x′를 x″로 옮기는 변환을 τ라 할 때, 이것을x′＝σ(x), x″＝τ(x′)로 나타내면, x″＝τ(σ(x))이다.

이것을 x″＝(τ 。 σ)(x)로 쓰면 τ 。 σ도 S의 원소를 S의 원소로 옮기는 변환이다. S의 변환 σ,τ,…의 집합을 G라 하고 G의 2원소의 결합을 위와 같이 정의할 때, G가 군을 이루면 G를 S 위의 변환군이라 한다.

예를 들면, 직선 위의 점 x를 x′로 옮기는 변환 x′＝ax＋b(a≠0)는 a,b의 값에 따라 l개씩 정해진다. 그리고 σ:x′＝ax＋b, τ:x′＝cx＋d라 하면 τ 。 σ로 표시되는 변환은 (τ 。 σ)(x)＝τ(σ(x))＝τ(ax＋b) ＝c(ax＋b)＋d＝acx＋bc＋d로 되어 같은 종류의 변환이다. 또 a＝1, b＝0인 변환을 단위원, σ:x′＝ax＋b의 역원을 변환

라 하면, 변환 전체는 군을 이룬다. 이 군은 직선 위의 변환군(아핀변환군)이다.

마찬가지로 평면 위에서도 점 (x,y)를 점 (x′,y′)로 옮기는 여러 가지 변환이 있다.





이들은 각각 평면 위의 변환군을 이룬다. 차례로 회전군·평행이동군·닮음변환군·운동군(합동변환군)이다. 변환군의 이론은 기하학의 연구에도 중요한 의미를 가지는 것으로서 19세기 후반부터 활발히 연구되었으며, 위상수학과도 결부되어 수학의 중요한 한 분야를 차지하고 있다.