부분집합

요약 주어진 집합에 포함되어 있는 집합.

두 집합 A, B에서 x∈B인 임의의 원소 x에 대하여 반드시 x∈A일 때, B를 A의 부분집합이라 한다. B⊂A 또는 A⊃B로 나타내며, 이것을 B는 A에 포함된다, 또는 A는 B를 포함한다고 한다. B⊂A이고 A≠B일 때 B를 A의 진부분집합이라 한다.

또한 집합 A가 유한집합일 때, A의 원소의 개수를 n이라 하면, A의 부분집합의 총수는 2ⁿ개이다. 이를테면, A＝{x, y, z}이면 A의 부분집합은 ø, {x}, {y}, {z},{x, y}, {y, z}, {x, z}, {x, y, z}의 8개이다. A 자신 및 공집합도 A의 부분집합이다.

알기 쉬운 설명

다음과 같은 집합 A={a,b,c}가 있다. 

이 집합 내에서 일부만을 선택하여 집합 속의 집합을 만들어보자. 가령, 원소 a와 b만 선택하여 {a, b}라는 집합을 만들 수 있다.

또한 원소 c 하나만 선택하여 {c}라는 집합을 만들 수도 있다.

그러나 반드시 일부 원소만을 선택해야 하는 것은 아니다. 다음과 같이 모든 원소를 선택한 원래의 집합 A와 동일한 집합 또한 만들 수 있다.

또한 아무런 원소도 선택하지 않은 공집합 ∅도 이러한 집합으로 인정된다.

이와 같이 주어진 집합 A 안에 포함되어 있는 원소들로 구성되는 집합과 전체집합 및 공집합을 모두 포괄하여 집합 A의 '부분집합'이라 한다. 좀 더 수학적으로 정의하면 어떤 집합 B의 원소인 x가 A라는 집합에도 속해있을 때, B를 A의 부분집합이라 한다. 즉 x∈B일 때 x∈A이면 B는 A의 부분집합이다.

관련 개념

집합 A={a, b, c}의 모든 부분집합을 찾아 나열하면 다음과 같다.

∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}

부분집합은 기호 ⊂를 사용하여 표시한다. 위 부분집합들이 A의 부분집합임을 기호로 표시하면 {a}⊂A, {b, c}⊂A, {a, b, c}⊂A 가 된다.

진부분집합
부분집합들 중 전체집합 A를 제외한 부분집합들을 집합 A의 진정한 부분집합이라는 의미로 '진부분집합'이라 한다. 즉 어떤 부분집합 B가 B⊂A이면서 B≠A일 때, B는 A의 진부분집합이다.

부분집합의 개수
집합의 원소가 n개일 때, 부분집합은 총 2ⁿ개이다. 위에 주어진 집합 A는 원소를 3개 가지고 있고, 부분집합은 총 2³=8개 가지고 있다. 이는 각각의 원소가 부분집합 안에 들어갈 수 있는 경우의 수가 각 2가지이기 때문이다. 집합 A의 경우 원소 a가 부분집합에 들어가느냐 들어가지 않느냐의 두 가지 경우가 있고, 원소 b와 c도 마찬가지로 각각 2가지씩 경우의 수를 가지고 있다. 원소 a, b, c가 가지고 있는 경우의 수 2가지씩을 모두 곱하면 2x2x2=2³=8이 되어 부분집합은 총 8개가 된다.