전기공진

교류 전기 회로에서 전류의 크기가 특정 진동수에서 극대화되는 현상을 의미한다.

목차

공진 또는 공명이란, 어떤 외부 자극에 대한 반응이 진동수 등의 입력 변수를 조절하여 극대화되는 현상을 말한다. 전기공진이란, 전기 회로에서의 공명 현상을 의미하며, 전기공진이 나타나는 회로를 공진회로라고 한다. 그림 1은 전기공진이 일어나는 직렬 RLC 회로를 보여준다. 공진이 일어나는 진동수 즉, 공명진동수는 코일의 인덕턴스@@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@이나 축전기의 전기용량 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@를 조절하여 바꿀 수 있어서, 특정 진동수의 전자기파를 검출하는 동조회로와 밀접한 관련이 있다.

그림 1. 교류 전원에 연결된 RLC 직렬 공진회로

공진회로에서의 전기공진은 키르히호프 법칙을 기술한 미분방정식을 풀어서 유도할 수 있다. 그림 1의 직렬RLC 회로에 관하여 풀어보자. 전체에 흐르는 전류를 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@, 축전기에 저장된 전하량을 @@NAMATH_INLINE@@Q(t)@@NAMATH_INLINE@@, 교류전압을 @@NAMATH_INLINE@@V(t)=V_0 e^{i\omega_f t}@@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@i=\sqrt{-1}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\omega_f@@NAMATH_INLINE@@는 강제진동 각진동수, @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@는 시간)라고 하면, 축전기 전기용량 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@, 코일의 자체인덕턴스 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@, 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@의 직렬회로에서의 전압 강하를 기술한 식은 식 1과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{Q\over C} +R{dQ\over{dt}} +L{{d^2Q}\over{dt^2}} = V_0 e^{i \omega_f t}\qquad (1)@@NAMATH_DISPLAY@@

이러한 시간에 대한 이차 미분방정식에서, 충분한 시간이 흐른 뒤 가능한 해는 사인파 또는 복소수 형태로 @@NAMATH_INLINE@@{Q(t) = A e^{i(\omega t +\phi)}} @@NAMATH_INLINE@@ 의 시도함수 형태를 갖게 되는데, 이를 위 식에 대입하면, @@NAMATH_DISPLAY@@(-\omega^2 L+i \omega R+{1\over C}) A e^{i(\omega t +\phi)} = V_0 e^{i\omega_f t}\qquad (2)@@NAMATH_DISPLAY@@

가 되어, 해는 @@NAMATH_INLINE@@\omega=\omega_f@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@ Ae^{i\phi}={V_0 \over{-\omega^2 L+i \omega R + 1/C}}@@NAMATH_INLINE@@임을 알 수 있다.

그러므로, 전류 @@NAMATH_INLINE@@I(t)= dQ/dt = i\omega Q(t)={V_0 \over{R+ i (\omega L-{1\over{\omega C}})}} e^{i \omega t}@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 이 모양은 옴의 법칙에 의한 @@NAMATH_INLINE@@I=V/R@@NAMATH_INLINE@@와 유사한 형태를 가지고 있다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@i(\omega L-{1\over{\omega C}})@@NAMATH_INLINE@@항은 분모에서 저항@@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@에 더해진 꼴로 있어서, 비록 허수이긴 하나 일종의 저항이라고 여길 수 있다. 그러므로 이러한 값들, 즉 @@NAMATH_INLINE@@\omega L@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@{1\over{\omega C}}@@NAMATH_INLINE@@을 리액턴스 또는 반응 저항이라 부르며, 코일에 의한 리액턴스 @@NAMATH_INLINE@@\omega L@@NAMATH_INLINE@@를 유도 리액턴스, 축전기에 의한 리액턴스 @@NAMATH_INLINE@@{1\over{\omega C}}@@NAMATH_INLINE@@를 용량성 리액턴스라고 각각 부른다. 그리고 저항까지 포함한 전체 크기 즉, @@NAMATH_DISPLAY@@ Z \equiv \left\vert R+ i (\omega L-{1\over{\omega C}})\right\vert = \sqrt{R^2 + (\omega L-{1\over{\omega C}})^2}\qquad (3)@@NAMATH_DISPLAY@@

를 임피던스 또는 온저항이라고 부른다.

그림 2. RLC 직렬 회로에 흐르는 전류의 크기를 강제진동 진동수에 대한 함수로 나타내었다.

전류의 크기, 즉 @@NAMATH_INLINE@@|I|@@NAMATH_INLINE@@를 강제진동 진동수 @@NAMATH_INLINE@@\omega_f /2\pi@@NAMATH_INLINE@@에 대한 함수로 그리면 그림 2와 같다. 특정한 진동수를 중심으로 뾰족한 모양을 가지고 있으며, 식 3에 저항이 분모에 들어있으므로 일반적으로 저항이 클수록 뾰족한 정도가 약해진다. 이 전류의 크기는 외부에서 인가된 전압의 강제진동에 대한 RLC 회로의 반응의 크기를 대변하며, 그래프의 뾰족한 정도 혹은 피크 값의 크기가 공진의 정도를 나타낸다. 사실 이 뾰족한 정도는 @@NAMATH_INLINE@@\sqrt{L/C}\over R@@NAMATH_INLINE@@에 의해 결정되는데 회로 공학에서는 이 값을 Q값이라고 한다. 공진이 일어나는 각진동수, 즉 피크의 각진동수 값은, 주어진 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@,@@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@,@@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@ 하에 임피던스가 최소가 되게 하는 값이므로, @@NAMATH_INLINE@@\omega_f L={1\over{\omega_f C}}@@NAMATH_INLINE@@으로, @@NAMATH_INLINE@@\omega_f={1\over\sqrt{LC}}\equiv \omega_0@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 따라서 강제진동의 각진동수를 회로의 고유한 값인 @@NAMATH_INLINE@@ \omega_0={1\over\sqrt{LC}}@@NAMATH_INLINE@@에 맞추면 전기공진이 일어나고 이 고유 진동수 @@NAMATH_INLINE@@{f_0=\omega_0 /2\pi}@@NAMATH_INLINE@@가 공명진동수가 된다.

이러한 RLC 회로의 전기공진 현상을 이용하여 축전기의 축전용량을 조절함으로써 특정 주파수의 라디오파만 증폭하여 수신하는 것이 라디오 수신기의 동조회로이다.

전기공진은 외부기전력의 진동수가 고유 진동수 즉 @@NAMATH_INLINE@@{1\over{2\pi\sqrt{LC}}}@@NAMATH_INLINE@@와 일치할 때 나타나는 현상이다. 그러므로 인덕턴스 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@이나 전기용량 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@를 조절하면 공명진동수를 조절할 수 있다. 보통 가변축전기를 써서 축전기의 전기용량을 조절한다. 방송 수신이나 전자기파 수신을 위해서는 이러한 동조회로를 이용하여 특정 주파수 대역의 신호를 통과시키기도 하고 차단하기도 하는 일종의 필터 작용이 필요하다. 주어진 R에 대하여 L과 C를 직렬로 연결하면, 공명진동수 대역에서 L과 C에 흐르는 전류가 극대화되므로 진동수 대역 신호를 통과시키는 형태의 공진이 발생한다. 반대로 L과 C를 R에 병렬로 연결하면, 공명진동수 대역에서 L과 C를 순환하는 전류가 극대화되는 대신 R에는 전류가 흐르지 않게 되므로, 대역 차단 효과가 나타난다.