LC 회로

LC 회로란 인덕터 L과 축전기 C로 이루어진 전기 회로를 말한다.

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LC 회로란, 문자 그대로 인덕터 L과 축전기 C로 이루어진 회로이다. 전원에 대하여 축전기와 인덕터 역할을 하는 코일을 직렬 또는 병렬로 배열할 수 있다. 그림 1은 직렬 LC 회로를 보여준다. 보통 LC 회로는 교류의 경우만을 생각하는데, 그 이유는 직류의 경우 축전기에 전하가 쌓일 때까지만 일시적으로 전류가 흐르고 일정 시간 이후에는 전류가 흐를 수 없기 때문이다. 외부에서 가해지는 전압이 없는 경우의 LC 회로에서는, 시간이 흐름에 따라 축전기에 쌓인 전하에 의한 전기에너지가, 코일 속에 생긴 자기장에 의한 자기에너지로 변환되었다가 다시 시간이 흐르면 원래의 축전기 전기에너지로 변환되는 일이 반복해서 일어난다. 이러한 과정을 전기진동이라고 부른다. 사실, RLC 회로에서 저항 R을 무시하면 LC 회로가 된다. RLC 회로에서 저항이 없으면 공진 전류값은 무한대로 발산하게 되어, RLC 회로에서 자주 언급되는 외부 교류전압에 의한 강제진동의 문제는 LC 회로에서는 비현실적이 된다. 그러므로 주로 외부 인가 전압이 없는 상태에서의 LC 회로 문제를 다룬다.

그림 1. 직렬 LC 회로

RLC 회로의 경우와 마찬가지로, 외부 전원이 없는 직렬 LC 회로의 축전기와 코일에서의 전압 강하는 키르히호프 법칙으로부터 얻을 수 있다. 축전기 전기용량 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@, 코일의 자체인덕턴스 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@인 LC 회로에 전류 @@NAMATH_INLINE@@I(t)=dQ/dt@@NAMATH_INLINE@@가 흐를 때 회로의 전압 강하는, @@NAMATH_INLINE@@L{dI\over{dt}}+{Q\over C}=0@@NAMATH_INLINE@@ 이므로, 다음과 같은 이차 미분방정식의 꼴이 나타난다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{{d^2 Q}\over{dt^2}}+{1\over{LC}} Q=0@@NAMATH_DISPLAY@@이 방정식의 해는 @@NAMATH_INLINE@@Q(t)= Q(0) \cos \omega_0 t@@NAMATH_INLINE@@의 사인파의 꼴이며, 이 때 고유 각진동수 @@NAMATH_INLINE@@\omega_0@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@\omega_0\equiv \sqrt{1\over{LC}}@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 그러므로, 전류값 역시 @@NAMATH_INLINE@@I(t)\propto \sin\omega_0 t@@NAMATH_INLINE@@의 사인파 형태가 된다. 진동의 주기는 @@NAMATH_INLINE@@T={2\pi\over{\omega_0}} =2\pi\sqrt{LC}@@NAMATH_INLINE@@이다.

LC 회로에서는 축전기에 저장된 전하량 @@NAMATH_INLINE@@Q(t)@@NAMATH_INLINE@@과 전류 @@NAMATH_INLINE@@I(t)@@NAMATH_INLINE@@가 조화진동한다. 그림 2는 이 전기진동을 묘사하고 있다. 처음, 즉 @@NAMATH_INLINE@@t=0@@NAMATH_INLINE@@에 축전기에 전하량 @@NAMATH_INLINE@@Q(0)@@NAMATH_INLINE@@가 모여 있고 전류는 흐르지 않는다고 가정하자. 처음에는 축전기 내의 전기장에 의해 축전기에만 전압 강하가 일어나며, 전압 강하 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@Q=CV@@NAMATH_INLINE@@로부터 구할 수 있다. 이 때 전체 에너지는 축전기의 전기에너지인 @@NAMATH_INLINE@@{{Q(0)^2}\over{2C}}@@NAMATH_INLINE@@이다. 시간이 흐르면서 도선과 코일을 통해 전류가 흐르게 되고, 코일에 자기장이 발생한다. 이 자기장에 의한 자체유도현상으로 코일에 전압 강하가 일어나게 된다. 시간이 주기의 1/4만큼 흘렀을 때, 축전기는 전하가 모두 빠져나간 상태가 되고 코일에는 최댓값의 전류가 흐르게 된다. 이 때 전체 에너지는 코일의 자기에너지인 @@NAMATH_INLINE@@{1\over{2}}LI^2={1\over{2}}L(Q(0)\omega_0)^2={{Q(0)^2}\over{2C}}@@NAMATH_INLINE@@가 되어 @@NAMATH_INLINE@@t=0@@NAMATH_INLINE@@일 때의 전기에너지 값과 같다. 이것은 곧 에너지가 보존됨을 나타낸다. 시간이 주기의 절반이 되면, 축전기에 처음과 부호는 반대이나 크기는 같은 전하량만큼 전하가 축적되고 코일에는 전류가 흐르지 않는다. 결국 @@NAMATH_INLINE@@t=0@@NAMATH_INLINE@@일 때와 동일하게, 축전기의 전기에너지만 존재한다. 그리고 @@NAMATH_INLINE@@t=3T/4@@NAMATH_INLINE@@일때는 다시 @@NAMATH_INLINE@@t=T/4@@NAMATH_INLINE@@일 때처럼, 코일의 자기에너지만 존재하게 된다. 이와 같이 LC 회로에서는 전기에너지와 자기에너지가 서로 교환하면서 전기진동이 일어난다. 이 운동은 마치 진동하는 용수철에서 운동에너지와 위치에너지가 서로 순환되는 것과 유사하여, 공진회로에서의 전자기적 에너지보존법칙에 관한 학습을 위한 중요한 예시로 자주 인용된다.

그림 2. 외부 전원이 없는 LC 회로에서의 전기진동