측도
[ measure , 測度 ]
- 요약
1차원에서의 길이, 2차원에서의 넓이, 3차원에서의 부피 등의 개념을 일반의 집합으로까지 확장한 개념이다. 즉 집합의 ‘크기’에 상당하며, 적분이론은 이 개념을 기초로 하는 경우가 많다.
E.보렐과 H.르베그는 C.조르당의 집합에 관한 ‘용적(extent)’의 정의를 개량하고 또 일반화하여, 다음에 설명하는 측도의 개념을 얻었다. m차원 유클리드공간 Rm 내의 임의의 점집합을 A라 하자. 이때 개구간(開區間)의 열 {In}을 만들면, 겨우 가산개(可算個)의 In(n=1,2,3…)의 합집합 UnIn으로 A를 덮을 수 있다.이와 같은 모든 구간열(區間列)의 용적의 합 ∑In의 하한(下限:inf) inf{∑In;A⊂In}=m*를 A의 르베그 외측도(Lebesgue outer measure) 또는 간단히 외측도라고 한다. 단, 개구간 I=(ai,bi) (i=1,2,…,m)의 용적은
로 정의한다.
외측도 m*A에는 다음과 같은 기본적인 성질 ①∼④가 있다.
① 임의의 A에 대해, 항상 0≤m*(A)≤+∞
② m*=0(ø는 공집합), m*R=+∞
③ A⊂B 이면 m*A≤m*B
④ m*(A1∪A2∪…)≤m*(A1)+m*(A2)+…
이상 4개의 조건을 만족하는 m*A를, 역으로 외측도의 정의로 할 수도 있다.
이 경우 m*A를 카라테오도리(Carathéodory)의 외측도라고 한다. A 이외에 Rm의 임의의 집합 X를 취하면 조건 ④에서,
m*X≤m*(X∩A)+m*(X∩Ac)
가 성립하는데, 특히
m*X=m*(X∩A)+m*(X∩Ac)
이면, Rm의 점집합 A를 가측(可測:measurable)이라 한다. 이 때 m*A를 mA 또는 A라 쓰고, A의 르베그측도 또는 간단히 측도라고 한다.