측도

요약 1차원에서의 길이, 2차원에서의 넓이, 3차원에서의 부피 등의 개념을 일반의 집합으로까지 확장한 개념이다. 즉 집합의 ‘크기’에 상당하며, 적분이론은 이 개념을 기초로 하는 경우가 많다.

E.보렐과 H.르베그는 C.조르당의 집합에 관한 ‘용적(extent)’의 정의를 개량하고 또 일반화하여, 다음에 설명하는 측도의 개념을 얻었다. m차원 유클리드공간 R^m 내의 임의의 점집합을 A라 하자. 이때 개구간(開區間)의 열 {I_n}을 만들면, 겨우 가산개(可算個)의 I_n(n＝1,2,3…)의 합집합 U_nI_n으로 A를 덮을 수 있다.이와 같은 모든 구간열(區間列)의 용적의 합 ∑I_n의 하한(下限:inf) inf{∑I_n;A⊂I_n}=m^*를 A의 르베그 외측도(Lebesgue outer measure) 또는 간단히 외측도라고 한다. 단, 개구간 I＝(a_i,b_i) (i＝1,2,…,m)의 용적은

   

로 정의한다.
외측도 m^*A에는 다음과 같은 기본적인 성질 ①∼④가 있다.
① 임의의 A에 대해, 항상 0≤m^*(A)≤＋∞
② m^*＝0(ø는 공집합), m^*R=＋∞
③ A⊂B 이면 m^*A^≤m^*B
④ m^*(A₁∪A₂∪…)≤m^*(A₁)＋m^*(A₂)＋…
이상 4개의 조건을 만족하는 m^*A를, 역으로 외측도의 정의로 할 수도 있다.
이 경우 m^*A를 카라테오도리(Carathéodory)의 외측도라고 한다. A 이외에 R^m의 임의의 집합 X를 취하면 조건 ④에서,
     m^*X≤m^*(X∩A)＋m^*(X∩A^c)
가 성립하는데, 특히
     m^*X=m^*(X∩A)＋m^*(X∩A^c)
이면, R^m의 점집합 A를 가측(可測:measurable)이라 한다. 이 때 m^*A를 mA 또는 A라 쓰고, A의 르베그측도 또는 간단히 측도라고 한다.