르베그적분

요약 H.르베그가 정의한 적분개념.

적분은 직관적으로 넓이에 의하여 설명할 수 있으나, 최초로 수학적인 엄밀한 정의를 내린 수학자는 G.F.B.리만이었다(1857). 이에 대하여 르베그는 넓이에 관해서 깊은 고찰 끝에 ‘측도(測度)’라는 개념을 정의(1902)하여 그 정의에 따라 근대적인 적분이론을 전개하였다. 특히, 근대 해석학은 르베그적분을 기초로 하여 연구되고 있는데, 그 개념은 다음과 같다.

함수 f(x)를 구간 ［a,b］에서 정의된 유계인 함수라고 할 때, 먼저 f(x)≥0인 경우를 생각한다. ［a,b］에 대한 f(x)의 하한을 L, 상한을 M, 구간 ［L,M］을 분점 L=α₀＜α₁…＜α_n=M으로 n개의 소구간으로 분할하여 이 분할을 라고 하자. 이 때, α_i(x)   α_i+1되게 하는 x의 집합의 측도(르베그측도)를 m(α_i,α_i+1)로나타낼 때,
로 놓으면, max(α_i-α_i-1)→ 0이 되도록 분할 를 세분하면, → Ş, → 로 된다. 이 때 만일 = 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 르베그적분 가능이라고 하며, 그 공통값 S를 f(x)의 a에서 b까지의 르베그적분이라 하고,
로 나타낸다. 함수 f(x)가 f(x)≥0을 만족하지 않을 경우에도, 적당한 생각에 의하여 르베그적분을 정의할 수 있다.