적분법

요약 주어진 함수의 원시함수를 구하는 것으로서, 정적분을 구하는 것을 그 함수를 적분한다고 한다. 적분법은 그 계산법을 말한다.

적분에 대한 생각은 고대 그리스의 안티폰에 의한 원의 넓이를 그에 내접하는 정사각형과 무수히 많은 삼각형의 합으로 구하는 구적법에서 비롯되었다. 이러한 생각에 논리적인 근거를 부여한 것은 의 착출법(搾出法)인데, 이들은 모두 정지 도형에 관한 생각들이었다.

1687년 은 《(자연철학의 수학적 원리)》에서 연속적으로 변화하는 것에 대한 고찰로부터 유율법(流率法), 즉 미적분법을 발표하였고, 한편 는 1686년 논문 <기하비의(幾何秘義) 및 불가분량(不可分量)과 무한의 해석에 대하여>에서 처음으로 다음과 같은 적분 기호를 사용하였다.

적분법은 뉴턴과 라이프니츠에 의해 각각 독립적으로 확립되었다고 하나, 명확한 정의가 세워진 것은 19세기에 들어와서였다. 즉, 에 의해 어떤 조건에서 적분이 구해질 수 있는가 하는 문제가 해결되었으며, 더욱이 에 의해 더 일반적인 정의가 내려졌다.

이후 구적(求積)의 개념도 추상화되어, 지금까지 적분 불가능했던 도 이제는 적분이 가능하게 확장되었다. 적분은 함수의 평균값이나 곡선의 길이, 곡면으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 데 쓰일 뿐 아니라 여러가지 물리량(物理量)을 정의하고, 계산하는 데도 중요한 구실을 하고 있다. 그리고 가 하나인 함수로부터 일반적으로 다변수함수(多變數函數)와 복소수변수(複素數變數)인 함수까지 확장시켜서 함수의 대역적(大域的)인 성질을 연구하는 데에 매우 유용하게 쓰이고 있다.

알기 쉬운 설명

아래와 같이 y=x²의 포물선 그래프의 곡선 아래 부분 일부(x=0에서 x=1까지)의 넓이를 구하려고 한다.

포물선과 같은 곡선이 포함된 영역의 넓이를 구하기 위한 공식이나 정해진 방법이 없으므로, 문제를 해결하기 위해 아래과 같이 곡선 아래 넓이와 유사한 여러 개의 사각형으로 해당 영역을 나누어 보자.

이 사각형들의 넓이의 합을 구하면 원래 구하고자 했던 곡선 아래 영역의 넓이와 비슷한 값을 얻을 수 있지만 여전히 차이가 존재한다. 그러나 다음과 같이 사각형의 가로 길이를 좀 더 작게 해서 촘촘히 영역을 나눌수록, 원래 구하고자 했던 영역과의 차이가 줄어들고 곡선 아래 넓이에 가까운 값을 얻을 수 있다.

이와 같이 구하고자 하는 넓이나 부피의 대상을 아주 잘게 쪼개어 구할 수 있도록 한 뒤, 그 작은 조각들을 모두 합쳐서 원래 구하고자 했던 값을 구하는 방법을 구분구적법이라 한다. 이러한 구분구적법의 개념을 적분에 대응시키면, 'x축을 기준으로 아주 잘게 쪼갠다'는 의미로 기호 dx를 사용하고, 그 작은 조각들을 모두 '합한다'는 의미에서 합산이라는 뜻의 영어 Sum의 첫 글자 S를 길게 늘어뜨린 ∫를 기호로 사용한다. 함수 f(x)에 대한 적분은 기호로 다음과 같이 표시한다.

또한 y=x²의 그래프의 곡선이 x=0에서 x=1 사이에 x축과 이루는 영역의 넓이를 적분 기호를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

적분의 계산법

그렇다면 어떻게 적분을 계산할 수 있을까? 적분의 계산에 대해서 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠는 각자 적분의 계산이 미분의 역도함수와 같음을 발견하였다.

미적분학의 기본정리에 따르면, 함수 f가 구간 [a, b]에서 연속, 함수 가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분 가능하며 함수 F의 도함수가 f일 때, 다음 내용이 성립한다.

이에 따라 (1/3)x³을 x로 미분하면 x²이다. 이때 x²을 미분하기 전 원래의 함수 (1/3)x³을 , 역도함수라고 한다. 즉 x²을 적분하려면 어떤 함수를 미분할 때 x²이 될 지를 생각하면 된다. (1/3)x³을 미분하면 x²이 되므로, x²을 적분하면 (1/3)x³이 된다. 이처럼 적분의 계산을 쉽게 수행하기 위하여, 주어진 함수의 원시함수를 구하는 방법을 공식화한 것이 적분법이다.

(C는 적분상수)

일반적으로 다음의 함수들을 변수 x로 적분하는 적분법은 다음과 같다. (단, k는 상수, C는 적분상수이다) 이는 모두 주어진 함수의 역도함수(원시함수)를 정리한 것이다.