방정식

요약 변수를 포함하는 등식에서, 변수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식이다.

변수를 포함하는 등식이 변수의 값에 상관없이 항상 참인 경우를 항등식이라고 한다. 이에 견줘 식에 포함된 변수의 값에 따라서 참 또는 거짓이 되는 식을 방정식이라고 한다. 이때 등식을 성립시키는 특정한 값을 방정식의 근 또는 해라 하고, 근을 구하는 것을 ‘방정식을 푼다’라고 한다.

이를테면, x에 관한 방정식 3x＋2=14에서 x=4일 때 이 등식이 성립하므로 방정식의 근은 4이다. x의 값은 처음부터 알고 있던 수가 아니므로 미지수(未知數)라 하고, 미지수 이외의 문자나 수를 기지수(旣知數)라 한다. 방정식에서 미지수의 종류가 하나이면 1원방정식(一元方程式), 둘이면 2원방정식이라 하고, 그 미지수에 대한 차수가 1차이면 1차방정식, 2차이면 2차방정식이라 한다. 따라서 2원 1차 방정식이란 미지수의 최고차수가 1차이고, 미지수가 2개인 방정식을 말한다. 미지수에 어떤 값을 대입하여도 그 등식이 성립하지 않을 때 방정식은 불능(不能)이라 하고, 주어진 방정식을 만족하는 미지수의 값, 즉 방정식의 해가 무한히 많을 때 방정식은 부정(不定)이라 한다.

f(x)가 문자 x에 관한 다항식·분수식·무리식일 때 방정식 f(x)=0을 각각 대수방정식·분수방정식·무리방정식이라 한다. f(x)가 변수 x의 초월함수이면, f(x)=0을 초월방정식이라 한다. 방정식의 문자에 특정한 수 이외에 특정한 함수를 대입하는 함수방정식도 있다. 함수방정식에는 미분방정식·적분방정식 등이 있다. 몇 개의 방정식을 동시에 만족시키는 근을 구하는 것이 문제가 될 때, 그 방정식의 계(系)를 연립방정식이라 한다. 또, 2개의 문자 x, y를 포함한 방정식 f(x,y)=0 이 주어졌을 때, 평면 위의 직교좌표에서 그 해 (x, y)가 나타나는 점 전체가 1개의 곡선을 이루면, 그 방정식을 이 곡선의 방정식이라 한다. 예를 들어 방정식 x²+y²=1은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 방정식이다.