무리방정식
[ irrational equation , 無理方程式 ]
- 요약
미지수에 관한 무리식을 포함한 방정식.
보통 실수만을 취급하는 것으로 한다. ① 적당히 이항하여 양변을 제곱(또는 세제곱)하여 근호를 포함하지 않는
정방정식(整方程式)으로 유도한다. ② 근호를 제거하여 얻은 정방정식의 근 중에서
처음 방정식을 만족하지 않는 근을 무연근(無緣根)이라 하며, 이것은 근에서
제외한다.
이를테면, x-3=의 근은, 양변을 제곱하여 정리하면 x2-7x+10=0인
정방정식을 얻으며, 이것을 풀면 x=2 또는 x=5가 된다. 그러나 x=2는 처음 방정식을
만족시키지 않으므로 이것은 무연근이다.
따라서, 구하는 근은 x=5이다. 이와 같이 무연근이 생기는 이유는 다음과 같이
설명할 수 있다. 무리방정식인 A=B의 양변을 n제곱하여 얻은 방정식 Ań=Bń은
일반적으로 처음 방정식 A=B와 동치가 아니다.
Ań-Bń=(A-B)(An-1+Ańn-2B
+Ańn-3B2+…+Bńn-1)=0
이므로, 후자의 근 중에는 방정식
Ańn-1+Ańn-2B +Ańn-3B2+…+Bńn-1=0
의 근이 포함되어 있기 때문이다.