무리방정식

요약 미지수에 관한 무리식을 포함한 방정식.

보통 실수만을 취급하는 것으로 한다. ① 적당히 이항하여 양변을 제곱(또는 세제곱)하여 근호를 포함하지 않는 정방정식(整方程式)으로 유도한다. ② 근호를 제거하여 얻은 정방정식의 근 중에서 처음 방정식을 만족하지 않는 근을 무연근(無緣根)이라 하며, 이것은 근에서 제외한다.

이를테면, x－3=의 근은, 양변을 제곱하여 정리하면 x²－7x+10=0인 정방정식을 얻으며, 이것을 풀면 x=2 또는 x=5가 된다. 그러나 x=2는 처음 방정식을 만족시키지 않으므로 이것은 무연근이다.

따라서, 구하는 근은 x=5이다. 이와 같이 무연근이 생기는 이유는 다음과 같이 설명할 수 있다. 무리방정식인 A=B의 양변을 n제곱하여 얻은 방정식 A^ń=B^ń은 일반적으로 처음 방정식 A=B와 동치가 아니다.
     
     A^ń－B^ń=(A－B)(A^n-1+A^ńn-2B

          +A^ńn-3B²+…+B^ńn-1)=0

이므로, 후자의 근 중에는 방정식

     A^ńn-1+A^ńn-2B +A^ńn-3B²+…+B^ńn-1=0

의 근이 포함되어 있기 때문이다.