상대성

특수상대성이론의 개념

배경

뉴턴에 의해 완성된 고전역학에 따르면 한 물체가 다른 물체에 물리적인 영향(힘)을 미치면 그 물체의 운동상태, 즉 속도가 변한다.

반대로 외부의 영향이 전혀 없을 때 물체의 속도는 보존된다. 이는 정지상태의 물체는 계속 정지해 있고 움직이고 있는 물체는 계속 처음과 같은 방향과 속력으로 움직임을 뜻하며 이러한 뉴턴의 운동 제1법칙을 흔히 관성의 법칙이라고도 한다. 물체의 운동은 기준좌표계에 관해 상대적으로 기술되기 때문에 관성의 법칙은 힘을 받지 않는 물체의 속도가 변하지 않게 보이는 특정한 기준좌표계의 존재를 의미한다.

그러한 기준좌표계들을 관성좌표계라 부른다. 기준좌표계는 물리적으로 표준시계와 좌표계의 세 공간축 방향으로 표준자를 가지고 있는 관측자로 생각할 수 있다. 관성좌표계에 해당하는 관측자를 관성관측자라 부른다. 뉴턴의 역학이론에 의하면 임의의 두 관성관측자는 상대적으로 등속운동을 하며 각자의 시계는 같은 비율로 진행한다. 따라서 2개의 사건이 한 관성관측자에 대해 동시에 일어났다면 다른 모든 관성관측자들에 관해서도 동시에 일어난 사건으로 관측된다.

일상생활의 경험도 동시에 일어난 사건으로 관측된다. 이는 일상생활의 경험을 통해 당연하게 여겨지는 개념이지만 19세기말 물리학자들의 새로운 발견에 따라 의문시되기 시작했다. 맥스웰과 마이클 패러데이 및 몇몇 물리학자들이 발전시킨 전자기학에 의하면 전자를 가지고 있는 물체나 자석이 다른 물체에 작용할 때 그 작용은 먼 거리에 걸쳐서 순간적으로 이루어지는 것이 아니라 2억 9,979만 2,458m/s의 속력으로 전파되는 전자기파에 의해 전달된다.

이 속력은 진공상태에서의 빛의 속력과 일치한다. 이 사실을 알아낸 맥스웰은 빛이 일종의 전자기파라는 가설을 제안했으며 그의 가설은 헤르츠에 의해 실험적으로 증명되었다. 당시까지 알려진 모든 파동현상은 음파나 지진파 같은 탄성파들이었으며 이들은 매체에 의해 전달된다.

따라서 맥스웰은 전자기파도 전달매체가 있다고 믿었으며 이를 에테르라고 불렀다. 곧 이어 에테르의 존재를 실험에 의해 밝히려는 시도가 마이컬슨과 몰리에 의해 행해졌다(→ 마이컬슨-몰리 실험). 그들은 에테르가 존재한다면 에테르에 대한 지구의 상대적인 운동 때문에 실험실에서 측정한 빛의 속력이 방향에 따라 약간의 차이를 가질 것이라는 점에 착안하여 빛의 간섭현상을 이용한 정밀한 실험을 고안했다(마이컬슨-몰리실험). 이 실험은 오랜 기간에 걸쳐 여러 장소에서 행해졌으나 모두 빛의 속력이 방향과 장소에 관계 없이 일정함을 나타냈다.

특수상대성이론은 당시의 상식과 전혀 어긋난 이 실험결과를 받아들임으로써 만들어졌다.

시간과 공간의 상대성

피츠제럴드와 로렌츠는 에테르에 관해 움직이는 물체가 속력에 따라 그 운동방향으로 적당히 수축한다면 마이컬슨-몰리 실험의 결과가 에테르의 존재와 모순되지 않다는 것을 독자적으로 보였다.

그들에 따르면 에테르에 대해 속력 υ로 움직이는 물체는 그 운동방향으로 (1－υ²/c²)^1/2의 비율로 수축해야 하고, 여기서 c는 에테르에 대한 빛의 속력을 의미한다. 보통의 속력 υ에 대해서는 빛의 속력이 매우 크므로 그 수축비율은 거의 1에 가까워서 일상생활의 경험에 의해서는 감지할 수 없으나 υ가 c에 가까운 큰 값일 때에는 수축효과가 현저해진다. 또한 로렌츠는 마이컬슨-몰리의 실험결과로부터 에테르에 대해 속력 υ로 움직이는 시계는 정지해 있는 시계보다 같은 비율로 천천히 가야한다는 결론을 얻었다.

이와 같은 결론은 물체의 크기나 시계의 진행비율이 그 구조나 크기에 관계 없이 에테르에 대한 속력에만 의존해서 변해야 한다는 점에서 받아들이기 어렵고 또한 여러 가지 모순점을 포함하고 있다. 이 문제점은 1905년 아인슈타인에 의해 비로소 해결되었다. 그는 종래의 두 관성관측자의 관측결과 사이의 모든 비교에 있어서 동시성의 절대성, 즉 한 관측자에 대해 동시에 일어난 두 사건은 모든 다른 관성관측자들에게도 그러하다는 가정이 바탕을 이루고 있다는 사실을 간파했다.

그러한 동시성의 개념은 먼거리에서 발생한 사건이 순간적으로 관측자에게 전달된다는 이전의 생각에서는 당연한 가정이다. 그러나 아인슈타인은 에테르의 존재에 관한 가정 없이 마이컬슨-몰리의 실험결과를 빛의 속력이 모든 관성관측자에 대해 일정하다는 사실로 받아들였으며 더 나아가 모든 관측자들이 동의할 수 있는 빛의 속력을 이용하여 두 사건의 동시여부를 정의한다면 두 사건의 거리와 시간차가 절대적인 개념이 아니라 관측자에 따라 다른 상대적인 개념이라는 결론을 유추해 냈다.

그 결론에 따르면, 상대적으로 움직이고 있는 두 관성관측자들이 측정한 두 사건의 시간 및 공간거리는 다르나 한 쪽이 옳고 다른 쪽이 틀린 것이 아니라 서로 다를 뿐이며 동등하게 취급될 수 있다. 그들이 가지고 있는 시계와 자를 비교하면 둘 다 피츠제럴드와 로렌츠가 발견한 비율 만큼 상대방의 시계가 천천히 가며 상대방의 자가 짧은 것을 발견하지만 그들이 관측한 빛의 속력은 같다.

이 사실은 겉보기에 모순되는 것처럼 보일 수도 있으며 실제로 아인슈타인이 발견한 시공간 구조의 모순점을 지적하는 듯한 많은 패러독스들이 만들어졌다. 이 패러독스들은 모두 무의식중에 당연히 받아들여왔던 시공간에 대한 잘못된 개념들을 포함하고 있다. 그 중에 대표적인 것으로 쌍둥이 패러독스가 있다. 현재에는 이러한 패러독스들이 무의식중의 편견을 타파하여 특수상대성이론의 올바른 이해에 많은 도움을 준다는 의미에서 특수상대성이론의 연습문제로 흔히 쓰이고 있다.

두 관성관측자가 측정한 시간과 거리의 측정결과들을 관련짓는 수학적인 방정식을 로렌츠 변환이라 부른다(로렌츠변환). 한 관성좌표계(x, y, z, t)에 대해 x축 방향으로 속도 υ로 움직이는 다른 관성좌표계(x', y', z', t) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

이 관계에는 둘 사이의 상대속도만이 관여하여 에테르의 역할은 전혀 불필요하게 되었고, 따라서 현대물리학에서 에테르는 완전히 사라지게 되었다.

이와 같이 수정된 시간 및 공간 개념에 바탕을 둔 관성관측자들 사이의 상대성을 뉴턴역학에서의 상대성과 구별하기 위해 특수상대성이론이라 부른다. 또한 뉴턴역학을 비롯한 여러 가지 물리이론들이 새로운 시공간 개념에 맞추어 수정되었으며 이에 따라 많은 새로운 현상들이 밝혀졌다. 특수상대성이론이란 이름은 특수상대성을 가지도록 뉴턴 역학을 수정한 아인슈타인의 역학이론을 일컫는다.

결과

특수상대성이론의 결과 중 대표적인 몇 가지에 대해 언급하기로 하자. 첫째, 광속의 극한성을 들 수 있다.

앞에서 언급한 바와 같이 한 관성좌표계의 다른 관성좌표계에 대한 상대속도의 크기가 광속에 가까워지면 다른 관성좌표계의 시간은 점점 지연되고 길이는 점점 줄어들게 된다. 그 상대속도의 크기가 광속에 도달하게 되면 그 비율은 무한대가 된다. 따라서 특수상대성이론에서는 빛보다 빠른 상대속도의 크기가 허용되지 않는다.

이는 물체의 속력이 어느 관성계에서 보더라도 빛의 속력을 초과할 수 없음을 의미하며 광속이 물체의 속력의 극한값이 됨을 뜻한다. 이 결과는 한 관성좌표계에 대해 서로 반대방향으로 거의 광속으로 움직이는 두 관성좌표계의 상대속도의 크기가 광속의 2배가 아니라 여전히 광속보다 작다는 것을 뜻한다. 이는 큰 상대속도에서는 속도의 합에 관한 뉴턴역학의 규칙이 적용되지 않음을 나타낸다. 실제로 로렌츠 변환으로부터 다음과 같은 사실을 유도할 수 있다.

첫번째 관성좌표계에 대해 2번째 관성좌표계가 한 방향으로 속도 υ로 움직이고 3번째 관성좌표계가 2번째에 대해 같은 방향으로 속도 u로 움직일 때 3번째의 첫번째에 대한 상대속도 u`은 다음과 같다.

따라서 u와 υ가 광속보다 작으면 그 합도 광속보다 작다.

2번째 결과로 질량의 속력에 따른 변화를 들 수 있다. 물체의 질량은 운동상태의 변화에 대한 저항을 나타내는 척도이다. 이미 광속에 가까운 속력으로 움직이고 있는 물체를 더 가속하려 하면 점점 더 큰 저항이 작용해야만 속도가 광속을 초과하지 못할 것이다. 이 저항에 대응하는 질량을 상대론적 질량이라 부르며 따라서 상대론적 질량은 속력에 따라 증가해야 할 것이다.

실제로 상대론적 질량 m, 속도 υ, 정지질량 m_o는 다음과 같은 관계가 있다.

이 결과로부터 속력 υ가 광속에 접근하면 상대론적 질량이 무한히 커짐을 쉽게 알 수 있다.

일반상대성이론의 배경

배경

이미 설명한 바와 같이 특수상대성이론은 맥스웰의 전자기학에 관한 의문점을 해결하기 위해 만들어졌다.

그 이론의 근거가 되는 새로운 시공간 구조는 맥스웰이론이 특수상대성을 가지도록 고안되었기 때문에 맥스웰이론은 이미 모든 관성관측자에게 적용될 수 있는 이론이다. 그러나 당시 또하나의 중요한 자연현상인 중력을 기술하는 뉴턴의 중력이론은 그 이전의 시공간 구조에 바탕을 두고 있었기 때문에 특수상대성을 가지도록 수정될 필요가 있었다.

특히 뉴턴의 중력이론이 태양계 내의 여러 행성의 움직임을 수백년 앞서 예측할 수 있을 정도로 훌륭한 이론임에도 불구하고 두 물체 사이의 중력효과가 순간적으로 전달될 수 있다는 점에서 특수상대성이론과는 근본적인 모순점이 있었다. 따라서 아인슈타인은 중력장의 개념에 바탕을 둔 새로운 중력이론을 개발하는 일에 착수했고 1916년에 일반상대성이론이라는 이름으로 발표했다.

등가원리

아인슈타인으로 하여금 궁극적으로 일반상대성이론에 도달하게 했던 중요한 원리 중의 하나로 보통 상대론적 질량이 중력질량과 같다는 말로 표현되는 갈릴레오-뉴턴의 등가원리보다 약간 강한 내용을 포함한다.

우리는 일상생활의 경험을 통해 지구에 의한 물체의 중력이 물체의 크기나 모양에 관계 없이 상대론적질량에만 비례함을 알고 있다. 따라서 뉴턴의 운동제2법칙에 의해 힘과 상대론적질량의 비로 정해지는 물체의 가속도는 모든 물체에 대해 동일하다. 지금은 당연하게 느껴지는 사실도 실은 갈릴레오가 피사의 사탑에서 보인 자유낙하실험을 시초로 많은 실험을 통해 확인된 결론이다.

아인슈타인은 여기서 한걸음 더 나아가 다음과 같은 사고실험을 고안했다. 만일 균일한 중력장 아래에서 엘리베이터의 줄이 끊어져 자유낙하를 하고 있다면 그 안에 들어 있는 사물들은 모두 같은 가속을 가지므로 다른 물체에 대해 아무런 가속을 느끼지 못할 것이다. 따라서 엘리베이터 안에 있는 사람은 그 안의 물체에 대한 측정을 통해서는 자신이 중력장에 의해 자유낙하하는 기준좌표계 안에 있는지 아니면 아무런 힘이 작용하지 않는 관성좌표계 안에 있는지 구분할 수 없을 것이다(무중력). 반대로 엘리베이터가 땅에 닿는 순간 그는 엘리베이터 바닥에 대해 큰 가속을 느낄 것이나, 이것이 엘리베이터는 정지되어 있고 아래방향으로 강한 중력이 작용하는지 아니면 중력은 작용하지 않고 다만 엘리베이터가 위로 갑작스런 가속을 하는지 구별할 수 없을 것이다.

아인슈타인의 등가원리는 역학적인 관측에 의해서뿐만 아니라 국소적인 모든 가능한 실험을 통해서도 자유낙하하는 관측자는 중력의 효과를 전혀 느끼지 못하며 따라서 관성좌표계와 구별할 수 없다는 원리이다. 균일하지 않은 중력장에서는 국소적인 기준좌표계에 대해서만 이 원리가 성립한다. 예를 들어 지구의 중력장에 의해 자유낙하하는 유한한 크기의 엘리베이터 안의 두 물체는 지구중심방향으로 자유낙하하므로 시간이 지남에 따라 서로 가까워지며 마치 둘 사이에 인력이 작용하는 것처럼 느낄 것이다.

따라서 관측자 모두가 인정할 수 있는 중력의 진정한 효과는 이처럼 자유낙하하는 두 물체간의 거리변화를 통해 나타난다.

휘어진 시간과 공간

특수상대성이론의 시공간에서의 관성계는 유클리드기하학에서의 직각좌표계와 유사하다.

구면 위의 두 점에서 평행선을 그리려 하면 얼마 안가 두 선은 만나게 된다. 이는 구면이 휘어 있다는 사실을 나타내고 있다. 아인슈타인은 이 간단한 사실로부터 위에서 언급한 중력의 진정한 효과가 휘어진 시공간에 의해 나타내어질 수 있음을 알아냈다. 자유낙하하는 물체는 시공간상에서 측지선(測地線)이라 불리는 휘어진 시공간상에서의 최단거리의 선으로 기술될 수 있으며 인접한 두 측지선 사이의 거리변화는 곡률(curvature)이라는 개념에 의해 표현되므로 중력은 곧 휜 시공간의 물체에 대한 반영이라 생각할 수 있다.

따라서 중력이론은 휘어진 시공간의 기하학적 구조에 관한 이론이라 할 수 있다. 이러한 구조에 관한 수학적인 연구는 18세기 중엽 베른하르트 리만을 위시한 몇몇 수학자들에 의해 활발히 연구되어 왔던 분야로서 아인슈타인은 아마도 이러한 수학적 발전의 도움을 받았을 것이라 믿어진다. 일반상대성이론은 리만의 곡률텐서로부터 만들어지는 아인슈타인텐서라는 시공간의 기하학적 구조가 중력의 근원이 되는 물질의 질량밀도·운동량밀도·응력을 동시에 나타내는 응력-에너지텐서와 같다는 이론이다.

따라서 아인슈타인의 중력이론을 간단히 표현하면 물질이 공간과 시간의 구조를 변형시키고 이 변형된 구조는 물질에 중력의 효과를 제공한다고 할 수 있다. 휘어진 시공간에는 일반적으로 특수상대성이론에서의 관성좌표계와 같은 선택된 관측자들이 존재할 수 없으며 모든 관측자들이 동등하게 취급된다.

이를 일반상대성이라 하며 아인슈타인은 그의 중력이론을 이러한 상대성을 가진다는 의미에서 일반상대성이론이라 불렀다.

실험적 근거

일반상대성이론을 뒷받침하는 실험으로 다음의 몇 가지를 들 수 있다.

먼저 아인슈타인이론의 초석이 되는 갈릴레오-뉴턴의 등가원리에 대한 실험으로 대표적인 것이 롤란드 외트뵈슈에 의해 1888~1922년에 걸쳐 행해진 일련의 실험이다. 그는 등가원리를 1억분의 1의 정밀도까지 증명했다. 2번째로 수성근일점의 이동을 들 수 있다. 태양계의 많은 행성들은 타원형 궤도를 가지고 있으며 그 궤도는 다른 행성에 의한 영향 때문에 궤도축을 중심으로 조금씩 회전한다. 그러나 수성의 경우에는 다른 행성의 효과를 모두 고려해도 100년에 43초씩의 초과 회전이 있다는 사실이 이미 19세기부터 알려져 있었다.

일반상대성이론에 의한 계산결과는 이 차이를 정확히 설명한다. 3번째로 중력장에 의한 빛의 굴절을 들 수 있다. 일반상대성이론에 따르면 강한 중력장의 주변에서는 빛의 굴절현상이 일어난다. 아인슈타인은 이에 대한 예로 태양 옆을 지나는 빛의 굴절각도를 계산했고 이 계산을 바탕으로 그러한 현상이 실제로 일어날 것과 그 정도를 예측했다. 이 예측은 곧 아서 스탠리 에딩튼이 이끄는 탐험대의 개기일식 탐사에 의해 확인되었고 이를 계기로 아인슈타인의 일반상대성이론은 대중에게까지 잘 알려지게 되었다.

4번째로 중력에 의한 빛의 적색편이를 들 수 있다(중력적색이동). 일반상대성이론에 따르면 빛이 강한 중력장에서 약한 중력장으로 진행할 때는 그 파장이 길어져서 스펙트럼은 빨간색 방향으로 이동한다. 이 효과는 별들, 특히 표면중력이 상당히 큰 백색왜성이라 부르는 물체들에서 처음으로 관측되었고 1960년대 실험실에서 행해진 정밀한 실험들에 의해 1/100 정도의 정밀도까지 확인되었다.

그 후 인공위성과 레이저를 이용한 실험을 통해 훨씬 높은 정밀도까지 확인되었다.

검은 구멍

일반상대성이론이 발표된 직후 아인슈타인 방정식에 대한 해가 카를 슈바르츠실트에 의해 발견되었다.

이 해는 구형의 작고 무거운 물체 주변의 중력장을 나타낸다. 그 물체의 질량에 비해 크기가 어느 정도 크면 이 해는 뉴턴의 중력이론을 통해 대략 알고 있는 별들의 주변 중력장과 비슷한 특성을 보인다. 따라서 태양계 안의 중력현상에 적용된다. 그러나 질량에 비해 크기가 그 질량에 해당하는 중력반경보다 작으면 이 해는 우리의 상식과 현저히 다른 성질을 보인다. 일단 바깥에서 중력반경 안으로 들어간 어떠한 물체도(빛조차도) 다시 바깥으로 빠져나올 수 없다.

따라서 중력반경 안의 영역은 외부의 관측자에게 전혀 빛을 발할 수 없으며 검은 구멍이라 부른다. 이것의 물리적 의미는 별의 진화과정에서 이해할 수 있다. 1931년 수브라마니안 찬드라세카르는 태양보다 충분히 큰 질량을 갖는 별은 모든 진화가 끝난 뒤 한없이 수축해야 한다는 사실을 밝혔다.

따라서 검은 구멍은 질량이 어느 정도 이상되는 별들의 최종상태라 생각되어진다. 현재 검은 구멍으로 보이는 천체가 몇 개 존재하나 확증은 없다.

상대적 우주론

우주 전체를 기술하는 아인슈타인 방정식의 해 중에서 대표적인 것이 프리드만 해이다.

이 해는 현재 상대의 우리 우주를 잘 기술하고 있다고 믿어진다. 이 해에 따르면 우리의 우주는 정지상태에 머물러 있는 것이 아니라 계속해서 팽창하거나 또는 팽창했다가 수축한다. 이 해가 예측하는 결과들은 초기에 아인슈타인을 비롯한 대표적인 물리학자들에 의해 받아들여지지 않았으나 그 후 허블의 외부 은하의 속도관측에 의해 증명되었다.

허블은 먼 은하들이 모두 적색편이를 보이며 그 정도가 거리에 비례해 커짐을 관측했다. 이는 모든 은하들이 서로 멀어져 가고 있음을 의미한다. 현재 우주의 팽창은 정설로 받아들여지고 있다. 그후 로버트슨과 워커는 프리드만 해를 약간 일반화시켜 다양한 물질이 중력의 근원으로 작용할 때 우주의 진화에 대해 체계적인 연구를 시작했으며 현대의 거의 모든 우주에 관한 연구는 이를 바탕으로 하고 있다.

이러한 연구들에 따라 표준 우주모형으로 받아들여지고 있는 대폭발이론에 따르면, 우리의 우주는 초기의 무한히 응축된 상태에서 갑자기 폭발하여 팽창하기 시작했고 현재까지 계속 팽창하고 있다는 것이다. 앞으로 우리의 우주가 어떻게 진화할 것인가를 명확히 규명하기 위해서는 현재의 우주상태에 관한 더 많은 관측결과를 필요로 한다.

중력파

전자기파와 마찬가지로 시간에 따라 변화하는 중력장은 중력파를 발생시킨다.

따라서 중력파의 발견은 상대성이론의 중요한 검증이라 할 수 있다. 중력이 다른 상호작용에 비해 극히 약하기 때문에 현재까지의 기술로는 발견하지 못하고 있으나 기술 발전의 속도로 볼 때 앞으로 수 년 이내에 중력파가 발견될 가능성은 상당히 높고 현재 이 실험이 여러 곳에서 활발히 추진되고 있다.→ 기준좌표계, 등가원리, 로렌츠-피츠제럴드 수축, 상대론적 질량