각운동량

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각운동량

[ angular momentum ]

고전 역학에서 각운동량은 회전 운동을 하는 물체의 운동량을 나타내는 벡터량으로, 병진 운동을 하는 물체의 (선)운동량 (linear momentum)에 대응된다. 고전 역학에서 각운동량은 에너지, (선)운동량과 함께 보존되는 양이다.

화학에서는 원자나 분자의 운동을 다룰 때 전자의 오비탈 각운동량 (orbital angular momentum), 스핀 각운동량(spin angular momentum) 등과 같은 몇 가지 유형의 각운동량이 나타난다. 이들 각운동량의 양자 역학적 관계식들은 모두 같아 동일한 방법으로 다룰 수 있다.

각운동량은 불확정성 원리(uncertainty principle)로 인해 각운동량 벡터의 크기와 세 성분 중의 하나(보통 z-성분)만을 정확히 알 수 있다. 고전 역학에서 각운동량의 크기는 연속적이고 아무 값이나 가질 수 있으며, 각운동량 벡터의 방향에도 아무런 제한이 없다. 그러나 양자 역학에 따르면 각운동량의 크기와 z-성분은 양자화되어(quantized) 있으며, 이들에 대해 양자수 (quantum number)가 도입된다. 각운동량의 z-성분의 양자화는 각운동량 벡터의 배향(orientation)의 양자화를 의미한다.

모든 각운동량은 공통적으로 각운동량 벡터의 크기와 배향이 양자화되어 있고, 각각을 양자수로 기술할 수 있다.

목차

  1. 1.고전 역학 이론
    1. 1.1.궤도 운동의 각운동량
    2. 1.2.물체 자체 축에 대한 회전 운동의 각운동량
  2. 2.양자 역학 이론
    1. 2.1.전자의 각운동량
    2. 2.2.원자핵의 스핀 각운동량
    3. 2.3.분자의 회전 각운동량
  3. 3.참고 자료

고전 역학 이론

질량이 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@인 물체가 속도 @@NAMATH_INLINE@@\vec{v}@@NAMATH_INLINE@@로 운동할 때 (선)운동량(linear momentum)은 @@NAMATH_INLINE@@\vec{p} = m \vec{v}@@NAMATH_INLINE@@로 정의된다. 각운동량은 회전 운동에 대하여 (선)운동량에 대응하는 벡터량으로 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}@@NAMATH_INLINE@@로 정의된다. 고전 역학에서 각운동량은 다음 두 가지 경우로 나누어 생각하는 것이 편리하다.

궤도 운동의 각운동량

태양을 중심으로 지구와 같은 행성이 궤도를 그리며 도는 경우와 같이 물체가 한 점을 중심으로 회전할 때, 즉 궤도 (orbit) 운동에 대한 각운동량이다.

그림 1. 한 점을 중심으로 원궤도를 그리며 돌고 있는 입자의 각운동량. (출처: 대한화학회)

그림 1은 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@인 물체가 한 점을 중심으로 반지름 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@인 원궤도를 그리며 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 움직이는 회전 운동을 보여준다. 이때 각운동량은 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}@@NAMATH_INLINE@@인데, 각운동량 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@의 방향은 회전 운동 평면에 수직 방향이고, 각운동량의 크기는 @@NAMATH_INLINE@@L = mvr@@NAMATH_INLINE@@이다.

물체 자체 축에 대한 회전 운동의 각운동량

팽이의 회전과 같이 강체(rigid body)가 자체 축에 대하여 회전할 때의 각운동량이다. 강체의 회전에 대한 각운동량은 강체의 관성 모멘트(moment of inertia) @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@와 각속도(angular velocity) @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@의 곱으로 주어진다. 즉, @@NAMATH_INLINE@@\vec{L} = I\, \vec{\omega} @@NAMATH_INLINE@@. 이를 정리하면 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}@@NAMATH_INLINE@@로 환원된다.

각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L} = I\, \vec{\omega}@@NAMATH_INLINE@@과 (선)운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{p} = m \vec{v}@@NAMATH_INLINE@@을 비교하면 다음과 같이 서로 대응하는 것을 알 수 있다.

각운동량과 (선)운동량의 비교
운동량 질량 속도
@@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@ = @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@ x @@NAMATH_INLINE@@\vec{\omega}@@NAMATH_INLINE@@
@@NAMATH_INLINE@@\vec{p}@@NAMATH_INLINE@@ = @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@ x @@NAMATH_INLINE@@\vec{v}@@NAMATH_INLINE@@

양자 역학 이론

화학에서 원자 또는 분자의 운동을 다룰 때 몇 가지 서로 다른 각운동량들이 나타난다. 예를 들면, 전자의 오비탈 각운동량 (orbital angular momentum)과 스핀 각운동량 (spin angular momentum), 또는 분자의 회전 운동에 대한 회전 각운동량 (rotational angular momentum) 등이다. 이들 각운동량에 대한 양자 역학적 수학적 관계식은 모두 같기 때문에 동일한 방법으로 다룰 수 있다.

한 예로 원자에서 전자의 오비탈 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@을 양자 역학적으로 다루어 본다.

전자의 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@은 벡터량이므로 세 개의 성분 @@NAMATH_INLINE@@L_x, L_y, L_z@@NAMATH_INLINE@@가 있고, 각운동량 벡터의 크기 @@NAMATH_INLINE@@L = \left \vert \vec{L} \right \vert@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_INLINE@@L^2 = L_x ^2 + L_y ^2 + L_z ^2@@NAMATH_INLINE@@로 주어진다. 불확정성 원리(uncertainty principle)에 따라 각운동량의 크기와 세 성분을 동시에 정확히 아는 것은 불가능하고, 단지 각운동량의 크기와 세 성분 중 하나만 정확히 알 수 있다. 관례적으로 각운동량의 세 성분 중 z-성분, @@NAMATH_INLINE@@L_z@@NAMATH_INLINE@@를 선택한다.

양자 역학적으로 각운동량의 크기 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@과 z-성분 @@NAMATH_INLINE@@L_z@@NAMATH_INLINE@@에 대한 고윳값 방정식(eigenvalue equation)을 풀면 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@L^2 = \ell (\ell + 1)\hbar^2 , \qquad \ell = 0, 1, 2, 3, \ldots @@NAMATH_DISPLAY@@
@@NAMATH_DISPLAY@@L_z = m \hbar , \qquad m = -\ell, -\ell + 1, \ldots, \ell - 1, \ell@@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 정수의 값을 갖는 양자수로, @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@은 방위 양자수(azimuthal quantum number) 또는 각운동량 양자수라 하고, @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 자기 양자수(magnetic quantum number)1)라 한다. @@NAMATH_INLINE@@\hbar={h \over 2\pi}@@NAMATH_INLINE@@는 플랑크 상수이다.

그림 2. 각운동량 벡터의 크기와 z-성분. (출처: 대한화학회)

위 식에서 볼 수 있는 것처럼 각운동량의 크기 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@은 각운동량 양자수 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@에 의하여 결정되는 특정한 값만 가질 수 있다. 즉, 각운동량의 크기는 고전 역학에서와 달리 연속적이지 않고 양자화되어 있다. 또한 각운동량의 z-성분 @@NAMATH_INLINE@@L_z@@NAMATH_INLINE@@도 자기 양자수 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@에 의하여 결정되는 특정한 값만 가질 수 있다. 자기 양자수 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@이 가질 수 있는 값의 총 수는 @@NAMATH_INLINE@@2\ell + 1@@NAMATH_INLINE@@개이므로, 각운동량 벡터는 z-축에 대해 @@NAMATH_INLINE@@2\ell + 1@@NAMATH_INLINE@@개 특정한 방향으로만 놓일 수 있다. 따라서 이것은 각운동량 벡터의 배향(orientation)의 양자화를 의미한다.

각운동량 벡터의 크기와 배향은 양자화되어 있고, 이들을 나타내는 두 개 양자수가 있다.

전자의 각운동량

전자에는 두 가지 각운동량이 있는데, 오비탈 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{\ell}@@NAMATH_INLINE@@과 스핀 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{s}@@NAMATH_INLINE@@이다. 오비탈 각운동량은 전자가 원자핵을 중심으로 하는 회전 운동으로 인한 물리량이다.2) 스핀 각운동량은 오비탈 각운동량과는 다른, 내재적인 (intrinsic) 각운동량으로, 고전 역학에는 대응되는 물리량이 없는 양자 역학적 양이다. [이에 대한 자세힌 내용은 '스핀 (spin)'을 참고하라.]

단일 전자(single electron)의 상태를 나타내는데 필요한 4개 양자수 @@NAMATH_INLINE@@(n, \ell, m, m_s)@@NAMATH_INLINE@@ 중 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 오비탈 각운동량에 기인하는 양자수이고, @@NAMATH_INLINE@@m_s@@NAMATH_INLINE@@는 스핀 각운동량에 기인하는 양자수이다.3)

수소 원자를 제외한 다전자 원자에서는 원자 내 전자들의 총 오비탈 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@과 총 스핀 오비탈 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{S}@@NAMATH_INLINE@@을 고려해야 한다. [이에 대한 자세힌 내용은 '원자 항기호 (atomic term symbol)'를 참고하라.]

원자핵의 스핀 각운동량

전자와 마찬가지로 원자핵에도 스핀 각운동량, 즉 핵스핀 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{I}@@NAMATH_INLINE@@가 있다. 원자핵의 핵스핀은 원자핵 내 양성자와 중성자 수에 따라 결정되므로 원자핵에 따라 서로 다르다. 또한 핵스핀을 다룰 때에는 동위원소들을 구분해야 한다. 

분자의 회전 각운동량

분자는 자신의 축을 중심으로 회전 운동을 할 수 있다. 고전 역학에서 강체의 회전과 유사하게 분자가 회전 운동을 하면 회전 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{J}@@NAMATH_INLINE@@가 나타난다. [이에 대한 자세한 내용은 '강체 회전자 (rigid rotor)'를 참고하라.]

다음 표에 여러 가지 각운동량과 관련된 양자수들을 정리하였다.

여러 가지 각운동량과 관련된 양자수들
각운동량 벡터 (각운동량의 크기)2 각운동량의 z-성분
전자의 오비탈 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{\ell}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@\ell (\ell+1) \hbar^2@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@\ell = 0, 1, 2, 3, \ldots@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@m \hbar @@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@m = -\ell, \ell+1, \ldots, \ell-1, \ell@@NAMATH_INLINE@@
전자의 스핀 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{s}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@s (s+1) \hbar^2@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@s={1 \over 2}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@m_s \hbar@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@m_s = \pm{1 \over 2}@@NAMATH_INLINE@@
원자의 총 오비탈 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@L (L+1) \hbar^2@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@L = 0, 1, 2, 3, \ldots@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@M_L \hbar@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@M_L = -L, L+1, \ldots, L-1, L@@NAMATH_INLINE@@
원자의 총 스핀 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{S}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@S (S+1) \hbar^2 @@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@S = 0,{1 \over 2}, 1,{3 \over 2}, 2, \ldots@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@M_S \hbar@@NAMATH_INLINE@@@@NAMATH_INLINE@@M_S = -S, -S+1, \ldots, S-1, S@@NAMATH_INLINE@@
원자핵의 스핀 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{I}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@I (I+1) \hbar^2@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@I = 0,{1 \over 2}, 1,{3 \over 2}, 2, \ldots@@NAMATH_INLINE@@(원자핵에 따라 다른 값) @@NAMATH_INLINE@@m_I \hbar@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@m_I = -I, -I+1, \ldots, I-1, I@@NAMATH_INLINE@@
분자의 회전 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{J}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@J (J+1) \hbar^2@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@J = 0, 1, 2, 3, \ldots@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@M_J \hbar@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@M_J = -J, J+1, \ldots, J-1, J@@NAMATH_INLINE@@

참고 자료

1. 물리적 의미를 생각하면 각운동량 투영 양자수 (angular momentum projection quantum number)라 부를 수 있다.
2. 그러나 보어의 수소 원자 모델에서처럼 전자가 원자핵을 중심으로 '궤도 (orbit)' 운동을 의미하지는 않는다.
3. 정확하게 말하면 항상 1/2인 @@NAMATH_INLINE@@s@@NAMATH_INLINE@@를 포함하여 5개 양자수가 있다.

동의어

각운동량