강체 회전자

강체 회전자

[ rigid rotor ]

입자 사이에 진동이 없고 회전 반경이 변하지 않으면서 회전하는 물체를 강체 회전자(rigid rotator)라고 부르며, 이는 분자 회전 운동의 모형으로 사용된다. 분자 회전 운동으로부터 결합 길이, 결합각, 분자의 크기 등에 대한 정보를 얻을 수 있다.

목차

강체 회전자의 종류와 관성 모멘트

관성 모멘트 moment of inertia)는 회전 운동을 연구하는 데 중심이 되는 변수이다. 이원자 분자의 관성 모멘트 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같이 각 원자의 질량과 회전축으로부터의 거리 제곱의 곱을 더하여 구한다.

@@NAMATH_INLINE@@I = \sum_{i}m_i {r_i}^2 =m_1 {r_1}^2 + m_2 {r_2}^2@@NAMATH_INLINE@@

@@NAMATH_INLINE@@m_1 {r_1} = m_2 {r_2} @@NAMATH_INLINE@@

@@NAMATH_INLINE@@ r_1 + r_2 = R@@NAMATH_INLINE@@ 이므로 관성 모멘트는 다음과 같이 쓸 수 있다.

@@NAMATH_INLINE@@I = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} R^2 = \mu R^2@@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} @@NAMATH_INLINE@@는 환산 질량(reduced mass)이며, @@NAMATH_INLINE@@r_i@@NAMATH_INLINE@@는 회전축으로부터 원자까지의 수직 거리이다. 관성 모멘트는 원자의 질량과 위치에 따라 다른 값을 갖기에, 회전 스펙트럼으로부터 관성 모멘트를 구하면 분자의 결합 길이와 결합각에 대한 정보를 얻을 수 있다.

그림 1. 이원자 분자 강체 회전자 모형. ()

일반적으로 3차원 분자에는 서로 직교하는 회전축이 3개 존재하며, 각 회전축에 해당하는 관성 모멘트 @@NAMATH_INLINE@@I_x, I_y, I_z@@NAMATH_INLINE@@가 있다. 강체 회전자는 3차원 구조에 따라 다음과 같이 구분된다.1)

(1) 구형 회전자: 세 개 관성 모멘트 값이 모두 같다. (예: CH4, SiH4, SF6)

(2) 대칭 회전자: 두 개 관성 모멘트 값이 서로 같다. (예: NH3, CH3Cl)

(3) 비대칭 회전자: 세 개 관성 모멘트 값이 모두 다르다. (예: H2O, CH3OH)

(4) 선형 회전자: 분자의 결합축에 대한 관성 모멘트가 0이다. (예: CO, CO2, HCl)

선형 강체 회전자의 고전 역학적 설명

그림 1은 선형인 이원자 분자의 강체 회전자 모형이며, 두 개 점질량 m1과 m2가 무게 중심 C를 중심으로 회전한다. 에너지(@@NAMATH_INLINE@@E@@NAMATH_INLINE@@)는 운동 에너지(@@NAMATH_INLINE@@T@@NAMATH_INLINE@@)와 퍼텐셜 에너지(@@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@)의 합이며, 강체 회전자의 경우 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@ = 0 이므로 에너지는 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@E = T = \frac{1}{2} m_1{v_1}^2 + \frac{1}{2} m_2{v_2}^2 = \frac{1}{2} m_1{r_1}^2{\omega_1}^2 + \frac{1}{2} m_2{r_2}^2{\omega_2}^2 = \frac{1}{2}I{\omega}^2 = \frac{L^2}{2I} @@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@는 각속도 (@@NAMATH_INLINE@@\omega = \frac{v}{r} @@NAMATH_INLINE@@), @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@은 각운동량 (@@NAMATH_INLINE@@L = mvr = I\omega @@NAMATH_INLINE@@)이다. 고전 역학적으로 볼 때 회전 에너지는 관성 모멘트와 각운동량에 따라 어떤 값도 될 수 있다.

선형 강체 회전자의 양자 역학적 설명

강체 회전자를 양자 역학적으로 풀면 회전 에너지 @@NAMATH_INLINE@@E_J @@NAMATH_INLINE@@는 양자화된 값을 갖는다.

@@NAMATH_DISPLAY@@E_J = \frac{h^2}{8 \pi^2 I} J(J+1) = BJ(J+1), J = 0, 1, 2, \ldots @@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@는 플랑크 상수, @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@는 회전 상수이다.

회전 에너지의 선택 규칙은 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\Delta J = \pm 1 @@NAMATH_DISPLAY@@

따라서 회전 에너지의 전이가 일어날 때 에너지 차이는 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\Delta E = E_{J+1} - E_J = \frac{h^2}{4\pi^2I} (J+1)= 2B(J+1), J = 1, 2, \cdots @@NAMATH_DISPLAY@@

그림 2는 강체 회전자의 에너지 준위와 그 사이에서 전이가 일어났을 때 회전 스펙트럼이며, 각 피크 사이의 간격은 @@NAMATH_INLINE@@2B@@NAMATH_INLINE@@이다. 스펙트럼에서 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@ 값을 결정하면, 관성 모멘트 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@ 그리고 결합 길이 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@과 결합각을 계산할 수 있다.

그림 2. 회전 스펙트럼.()

강체 회전자 모형에서 원자를 무게 중심으로부터의 거리가 고정되어 있는 점질량으로 나타낸다. 강체 회전자는 실제 분자에 비해 매우 단순화된 모형이다. 실제 분자에서는 두 원자가 항상 진동하고 있으므로 결합 길이가 고정되어 있지 않다. 또한 회전이 빨라지면 원심력에 의해 결합 길이가 길어지지만 강체 회전자는 회전 운동을 연구하는 데 매우 유용한 모형이다. 강체 회전자 모형에서 결합 길이의 변형을 보정하면, 실험 결과를 잘 설명하는 모형이 된다.2)

참고 문헌

1. 'Physical Chemistry', P. Atkins and J. de Paule, 10th ed., Oxford University Press (2014)
2. 'Quantum Chemistry', D.A. McQuarrie, 2nd ed., University Science Books (2008).

동의어

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