질량-광도관계

주계열에 속하는 별의 집단에서 질량과 광도 사이에 성립하는 관계식이다(그림 1 참조). 질량이 큰 별은 광도도 높다. 무거운 별일수록 밝다. 주계열성의 광도가 질량에 의존하는 정도는 비례 관계보다 심하며, 아래와 같은 멱법칙(power law)으로 기술한다:

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^a@@NAMATH_DISPLAY@@

여기에서 @@NAMATH_INLINE@@L_\odot@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@M_\odot@@NAMATH_INLINE@@은 각각 태양의 광도와 질량이다. 지수 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@는 1보다 크고, 6보다 작은 실수인데, 관측된 주계열성의 경우 평균적으로 3.5가 적합하다. 이론적으로 별이 에딩턴광도에 가까워지면 1이 된다. 질량-광도관계는 주계열성의 수명과 안시쌍성까지의 거리를 추정하는데 사용되기도 한다.

그림 1. 주계열성의 질량-광도 관계. (출처: 장헌영/이지원/한국천문학회)

목차

질량이 태양의 절반 이하가 되면 별 전체에서 대류에 의해 에너지가 전달되어 광도에 영향을 주게 된다. 질량이 매우 커서 @@NAMATH_INLINE@@55 M_{⊙}@@NAMATH_INLINE@@ 이상이 되면 복사압이 크게 증가하여 이 관계가 다소 평탄해지는 경향이 있다. 질량이 달라짐에 따라 멱법칙을 요햑하면 다음과 같다:

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{L}{L_{\odot}} \approx 0.23\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{2.3} \qquad(M < 0.43M_{\odot})@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^4 \qquad\qquad(0.43M_{\odot} < M < 2M_{\odot})@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{L}{L_{\odot}} \approx 1.5\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^{3.5} \qquad(2M_{\odot} < M < 20M_{\odot})@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{L}{L_{\odot}} \approx 32000 \frac{M}{M_{\odot}} \qquad(M > 55M_{\odot})@@NAMATH_DISPLAY@@

주계열성이 수소핵융합반응으로 생성할 수 있는 에너지 양은 중심핵에 포함된 수소의 양에 의해 제한된다. 핵융합을 할 수 있는 수소 연료의 양이 항성의 총질량에 비례하므로 주계열에 머무는 시간은 태양이 주계열에서 머무는 시간을 @@NAMATH_INLINE@@10^{10}@@NAMATH_INLINE@@ 년으로 볼 때 다음 관계식이 성립한다(그림 2 참조):

@@NAMATH_DISPLAY@@\tau_{\rm MS}\ \approx \ 10^{10} \text{years} \cdot \left[ \frac{M}{M_{\bigodot}} \right] \cdot \left[ \frac{L_{\bigodot}}{L} \right]\ =\ 10^{10} \text{years} \cdot \left[ \frac{M}{M_{\bigodot}} \right]^{-2.5}@@NAMATH_DISPLAY@@

결과적으로 질량이 큰 별은 연료로 태울 수 있는 수소가 많아서 더 오래갈 것 같지만, 질량이 증가함에 따라 광도가 커지기 때문에 질량이 클수록 수명은 짧아진다.

그림 2. 질량에 따른 주계열성의 수명. 주계열에 머무는 시간이 질량의 -2.5승에 비례한다고 가정하면, 질량이 태양 질량의 15배인 별은 천만년 정도만 주계열에 머무는 반면 태양 질량의 40% 정도 되는 별은 천억년 정도를 주계열에 머문다.(출처: 장헌영/이지원/한국천문학회)

두 별 사이 거리가 멀리 떨어져 있어서 두 별을 분리해서 관측할 수 있는 안시쌍성의 경우, 두 별 사이의 각거리와 주기를 측정하면 케플러제3법칙에 근거해서 별의 질량을 추정할 수 있다. 질량-광도관계에 근거한 광도와 관측된 겉보기등급을 사용해 쌍성까지의 거리를 추정할 수 있게 된다. 이 방법으로 얻은 시차(거리)를 역학시차(dynamical parallax)라고 한다.