이상 기체 상태 방정식

어떤 계(system)를 정의하기 위하여서는 온도(T), 압력(P), 부피(V), 양 또는 몰 수(n)의 네 가지 변수가 필요하며, 이들 사이의 관계를 나타내는 식을 상태 방정식이라고 한다. 이상 기체의 경우에는

@@NAMATH_INLINE@@pV = nRT @@NAMATH_INLINE@@(R은 기체상수)

의 관계가 성립하며, 이 식을 이상 기체 상태 방정식이라고 한다.

목차

이상 기체는 무질서하게 운동하는 분자 혹은 원자로 이루어진 가상의 기체를 말한다. 이상 기체는 (1) 기체 분자 자체의 크기는 용기의 크기에 비교해 무시할 수 있을 정도로 작으며 (혹은 부피가 0), (2) 기체 분자 사이에 작용하는 힘이 없다고 가정한 기체이다. 이와 같은 조건을 만족하는 실제 기체는 존재하지 않지만, 온도가 높고 압력이 낮으면 많은 기체는 이상 기체의 특성을 나타낸다.

기체의 상태를 정의하기 위해서는 온도(T), 압력(P), 부피(V), 양 또는 몰 수(n)의 네 가지 변수가 필요하다. 이상 기체는 다음과 같은 기체 법칙을 만족한다.

(1) 보일 법칙: 온도와 몰(mole) 수가 일정할 때 기체의 부피는 압력에 반비례한다.

@@NAMATH_INLINE@@V \varpropto \frac{1}{P} @@NAMATH_INLINE@@ (T, n 일정)

(2) 샤를 법칙: 압력과 몰 수가 일정할 때 기체의 부피는 절대온도에 비례한다.

@@NAMATH_INLINE@@V \varpropto T @@NAMATH_INLINE@@ (P, n 일정)

(3) 아보가드로 법칙: 온도와 압력이 일정할 때 기체의 부피는 몰 수에 비례한다.

@@NAMATH_INLINE@@V \varpropto n @@NAMATH_INLINE@@(T, P 일정)

보일 법칙, 샤를 법칙, 아보가드로 법칙을 합하면, 다음 관계가 얻어진다.

@@NAMATH_INLINE@@V\varpropto \frac{nT}{P} @@NAMATH_INLINE@@

비례상수 R을 사용하면,

@@NAMATH_INLINE@@V=R \frac{nT}{P} @@NAMATH_INLINE@@

또는

@@NAMATH_INLINE@@PV = nRT @@NAMATH_INLINE@@

비례상수 R을 기체 상수라고 하며 다음 값을 갖는다.

@@NAMATH_INLINE@@R = 0.08207338(47)\ atm \ L \ K^{-1} \ mol^{-1} @@NAMATH_INLINE@@

따라서 0 °C(273.15 K), 1 기압 하에서 이상 기체 1 몰의 부피는 22.413962(13) L가 된다.

기체 상수 R은 압력과 부피의 단위에 따라 다음과 같은 값을 갖는다.

@@NAMATH_INLINE@@R = 0.083144621(75)\ bar \ L \ K^{-1} \ mol^{-1} @@NAMATH_INLINE@@

@@NAMATH_INLINE@@R = 82.05746 \quad atm\ cm^3 L \ K^{-1} \ mol^{-1} @@NAMATH_INLINE@@

SI 단위로 나타낸 기체 상수는 다음과 같으며, 자연과학 및 공학에서 광범위하게 사용된다.

@@NAMATH_INLINE@@R = 8.3144598(48) \ J \ K^{-1} \ mole^{-1} @@NAMATH_INLINE@@

기체 상수는 1 몰에 대한 상수이며, 각각의 원자 또는 분자에 해당하는 값은 볼츠만 상수(Boltzmann constant) k_B이다.

@@NAMATH_INLINE@@k_B={R \over N_A}={8.3144598(48) \ J \ K^{-1} \ mole^{-1} \over 6.022140857(74)\times10^{23} \ mole^{-1} } = 1.38064852(79)\times10^{-23} \ J \ K^{-1} @@NAMATH_INLINE@@

실제 기체는 이상 기체 상태 방정식을 만족하지 않는다. 특히 온도가 낮고 압력이 높으면 이상 기체와 매우 다른 특성을 나타낸다. 실제 기체와 이상 기체의 차이를 바로잡아 나타내기 위해 다양한 상태 방정식이 제안되었다.

이상 기체는 분자 자체의 크기가 없고, 분자 간에 작용하는 힘이 없다고 가정한 기체이다. 실제 기체에서는 분자의 크기와 분자 간의 힘을 고려하여야 한다. 반데르 발스 상태 방정식은 분자 자체의 크기와 분자 간의 힘을 바로잡은 상태 방정식이다.

(1) 기체가 존재하는 용기의 부피는 전체 부피에서 기체 분자가 차지하는 부피를 제외한 값이 된다.

@@NAMATH_INLINE@@V \Rightarrow V - nb @@NAMATH_INLINE@@로 바꾼다. 여기서 n은 기체의 몰수이며 b는 기체 분자 1 mol이 차지하는 부피로 보통 실험적으로 결정한다. 이 보정은 기체 분자들 사이에 작용하는 밀치는 힘에 의한 결과로도 해석된다.

(2) 실제 기체 분자 사이에는 잡아당기는 힘이 작용한다. 그 결과 실제 기체가 벽면에 미치는 압력이 낮아진다. (기체의 압력이 매우 높아지면 밀치는 힘에 의한 효과가 더 커진다)압력이 낮아지는 정도는 기체 농도의 제곱에 반비례한다. 따라서 측정되는 압력을 바로잡아 주어야 이상 기체로 가정했을 때의 압력이 된다.

@@NAMATH_INLINE@@P_{ideal} \Rightarrow P_{measured} + a\left ( \frac{n}{V} \right )^2 @@NAMATH_INLINE@@로 바꾸어준다. 여기서 a는 기체마다 고유한 상수이다.

이에 따라 다음 식을 얻을 수 있다.

@@NAMATH_INLINE@@\underbrace{[ P + a\left ( \frac{n}{V} \right )^2 ] }_{P correction} \times \underbrace{ [V - nb] }_{V correction} = nRT@@NAMATH_INLINE@@

이 식을 다시 정리하면 다음 식이 얻어진다.

@@NAMATH_INLINE@@P={nRT \over (V - nb)} - a\left ( \frac{n}{V} \right )^2 @@NAMATH_INLINE@@

이 식을 반데르발스 상태 방정식이라고 한다. 이 식에서 a와 b를 반데르 발스 상수라고 하며, 기체마다 다르므로 보통 실험적으로 결정한다.

반데르발스 상태 방정식은 실제 기체와 이상 기체의 차이를 일부 바로잡아 주지만, 어떤 식도 실제 기체의 상태를 완벽하게 나타낼 수 없다. 비리알 상태 방정식은 다음과 같이 무한급수 형태로 나타내며, 필요로 하는 정확도에 따라 항 수를 늘려나갈 수 있다.

@@NAMATH_INLINE@@{pV \over nRT} = Z = 1 + B(T){n \over V} + C(T) \left ( \frac{n}{V} \right )^2 + \ldots@@NAMATH_INLINE@@

이 식에서 B(T)를 2차 비리알 상수, C(T)를 3차 비리알 상수 등으로 부르며, 온도에 따라 달라지는 상수이다. Z는 압축 인자(compression factor)로, 실제 기체가 이상 기체에서 벗어나는 정도를 나타낸다. 이상 기체의 경우 이 값은 1이다.