벡터공간
[ vector space ]
- 요약
군(group)·환(ring)·체(field) 등과 같은 대수적 구조(algebraic structure) 가운데 하나로 대수학 특히 선형대수학에서 중요하게 다루어지는 개념이다.
체(field) F와 집합 V에 대하여 다음이 성립할 때 V를 F 위의 벡터공간이라고 한다.
⑴ V 위에 +가 정의되어 있고 (u,v∈V ⇒ u+v∈V), (V,+)는 가환군(아벨군)이다.
즉,
① V의 임의의 원소 u,v,w에 대하여
(u+v)+w=u+(v+w)
② V에는 특정한 원소 0이 존재하여 모든 v∈V에 대하여
v+0=0+v=v
③ V의 임의의 원소 v에 대하여 다음과 같은 -v가 V 안에 존재한다.
v+(-v)=(-v)+v=0
④ V의 임의의 원소 u,v에 대하여
u+v=v+u
⑵ 함수 φ:F×V → V, φ((λ,v))=v가 존재하고 임의의 u, v, V, μ, F에 대하여
다음이 성립한다.
⑤ λ·(u+v)=λ·u+λ·v
⑥ (λ+μ)·v=λ·v+μ·v
⑦ (λ·μ)·v=λ·(μ·v)
⑧ 1·v=v 벡터공간 V의 원소를 벡터(vector)라고 하는데 특히 ②의 0을
영벡터(zero vector)라고 한다.
한편, 체 F의 원소는 스칼라(scalar)라고 한다. ⑴에서의 +를 합(addition)이라고
하고, ⑵에서의 함수 φ는 스칼라배(scalar multiplication)라고 한다. 벡터공간의
대표적인 예로서 F 대신에 실수체 R를 생각하고 V 대신에
Rn={(x1,x2,…,xn)xi∈R}을 생각할 수 있다. 합과 스칼라배를 다음과 같이
정의하면, Rn은 R 위의 벡터공간임을 알 수 있다.
(x1x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn) =(x1+y1,x2+y2, …,xn+yn)
λ·(x1,x2,…,xn)=(λx1,λx2,…,λxn)
이 벡터공간 Rn을 n차원 유클리드공간이라고 한다.
V가 체 F 위의 벡터공간이고 W는
V의 부분집합이며 공집합(ψ)이 아니라고 하자. W 자신이 V에서의 합과 스칼라배에
관하여 F 위의 벡터공간을 이루면 W를 V의 부분공간(subspace)이라고 한다. V가 F
위의 벡터공간이고 W가 V의 부분공간일 때, 임의의 v∈V에 대하여 집합
v+W={v+ww∈W}라고 하고, 이들 전체의 집합 V/W={v+Wv∈V}에 합과 스칼라배를
다음과 같이 정의하면 V/W는 F 위의 백터공간이 된다.
(u+W)+(v+W)=(u+v)+W, u,v∈V,
λ·(v+W)=λ·v+W,λ∈F, v∈V
이렇게 하여 얻은 벡터공간을 W에 관한 V의 상공간(quotient space)이라고 한다.
두 개의 군(group)을 비교할 때에는 군준동형사상(group homomorphism)을 사용하고,
두개의 환(ring)을 비교할 때에는 환준동형사상(ring homomorphism)을 사용한다. 두
개의 벡터공간을 비교할 때에는 선형변환이라고 하는 특수한 함수를 사용한다. F
위의 벡터공간 V와 V'에 대하여 함수 f:V → V'가 다음의 두 조건을 만족시킬 때 f를
선형변환(linear transformation)이라고 한다.
f(u+v)=f(u)+f(v), u,v∈V
f(λ·v)=λ·f(v),λ∈F, v∈V
선형변환 f:V → V'에 대하여 imf={f(v)v∈V}와 kerf={v∈Vf(v)}=0은 각각 V'와
V의 부분공간이다. imf를 f의 상(像:image)이라 하고 kerf를 f의 핵(核:kernel)이라
한다. kerf는 V의 부분공간이므로 kerf에 의한 V의 상공간(商空間) V/kerf를 만들 수
있다.
함수 φ:V/kerf → imf를 φ(v+kerf)=f(v), v∈V와 같이 정의하면 이 함수는
1:1대응이며 선형변환인 것을 알 수 있다. 이러한 경우 두 벡터공간 V/kerf 와 imf는
동형(isomorphic)이라고 한다. 임의의 선형변환 f:V → V'에서 V/kerf와 imf가
동형이 되는 것은 벡터공간에서의 제1동형정리(first isomorphism theorem)라고
한다. 함수 f:R2 → R3, f(x1,x2)=(x1,0,0)은 선형변환이고 imf={(x1,0,0)x1∈R},
kerf={(0,x2x2}이다. 벡터공간을 연구할 때 중요한 또 다른 개념으로서 1차독립,
생성, 기저, 차원 등이 있다. 선형변환은 행렬과 밀접한 관계가 있다.