벡터공간

요약 군(group)·환(ring)·체(field) 등과 같은 대수적 구조(algebraic structure) 가운데 하나로 대수학 특히 선형대수학에서 중요하게 다루어지는 개념이다.

체(field) F와 집합 V에 대하여 다음이 성립할 때 V를 F 위의 벡터공간이라고 한다.

⑴ V 위에 ＋가 정의되어 있고 (u,v∈V ⇒ u+v∈V), (V,＋)는 가환군(아벨군)이다. 즉,
① V의 임의의 원소 u,v,w에 대하여
      (u＋v)＋w＝u＋(v＋w)

② V에는 특정한 원소 0이 존재하여 모든 v∈V에 대하여
      v＋0＝0＋v＝v

③ V의 임의의 원소 v에 대하여 다음과 같은 －v가 V 안에 존재한다.
      v＋(－v)＝(－v)＋v＝0

④ V의 임의의 원소 u,v에 대하여
      u＋v＝v＋u

⑵ 함수 φ:F×V → V, φ((λ,v))＝v가 존재하고 임의의 u, v, V, μ, F에 대하여 다음이 성립한다.

⑤ λ·(u＋v)＝λ·u＋λ·v
⑥ (λ＋μ)·v＝λ·v＋μ·v
⑦ (λ·μ)·v＝λ·(μ·v)
⑧ 1·v＝v 벡터공간 V의 원소를 벡터(vector)라고 하는데 특히 ②의 0을 영벡터(zero vector)라고 한다.

한편, 체 F의 원소는 스칼라(scalar)라고 한다. ⑴에서의 ＋를 합(addition)이라고 하고, ⑵에서의 함수 φ는 스칼라배(scalar multiplication)라고 한다. 벡터공간의 대표적인 예로서 F 대신에 실수체 R를 생각하고 V 대신에 Rⁿ＝{(x₁,x₂,…,x_n)x_i∈R}을 생각할 수 있다. 합과 스칼라배를 다음과 같이 정의하면, Rⁿ은 R 위의 벡터공간임을 알 수 있다.

      (x₁x₂,…,x_n)＋(y₁,y₂,…,y_n) ＝(x₁＋y₁,x₂+y₂, …,x_n＋y_n)
      λ·(x₁,x₂,…,x_n)＝(λx₁,λx₂,…,λx_n)

이 벡터공간 Rⁿ을 n차원 유클리드공간이라고 한다.

V가 체 F 위의 벡터공간이고 W는 V의 부분집합이며 공집합(ψ)이 아니라고 하자. W 자신이 V에서의 합과 스칼라배에 관하여 F 위의 벡터공간을 이루면 W를 V의 부분공간(subspace)이라고 한다. V가 F 위의 벡터공간이고 W가 V의 부분공간일 때, 임의의 v∈V에 대하여 집합 v＋W＝{v＋ww∈W}라고 하고, 이들 전체의 집합 V/W＝{v＋Wv∈V}에 합과 스칼라배를 다음과 같이 정의하면 V/W는 F 위의 백터공간이 된다.

      (u＋W)＋(v＋W)＝(u+v)＋W, u,v∈V,
      λ·(v＋W)＝λ·v+W,λ∈F, v∈V

이렇게 하여 얻은 벡터공간을 W에 관한 V의 상공간(quotient space)이라고 한다.

두 개의 군(group)을 비교할 때에는 군준동형사상(group homomorphism)을 사용하고, 두개의 환(ring)을 비교할 때에는 환준동형사상(ring homomorphism)을 사용한다. 두 개의 벡터공간을 비교할 때에는 선형변환이라고 하는 특수한 함수를 사용한다. F 위의 벡터공간 V와 V'에 대하여 함수 f:V → V'가 다음의 두 조건을 만족시킬 때 f를 선형변환(linear transformation)이라고 한다.

      f(u＋v)＝f(u)＋f(v), u,v∈V
      f(λ·v)＝λ·f(v),λ∈F, v∈V

선형변환 f:V → V'에 대하여 imf＝{f(v)v∈V}와 kerf＝{v∈Vf(v)}＝0은 각각 V'와 V의 부분공간이다. imf를 f의 상(像:image)이라 하고 kerf를 f의 핵(核:kernel)이라 한다. kerf는 V의 부분공간이므로 kerf에 의한 V의 상공간(商空間) V/kerf를 만들 수 있다.

함수 φ:V/kerf → imf를 φ(v＋kerf)=f(v), v∈V와 같이 정의하면 이 함수는 1:1대응이며 선형변환인 것을 알 수 있다. 이러한 경우 두 벡터공간 V/kerf 와 imf는 동형(isomorphic)이라고 한다. 임의의 선형변환 f:V → V'에서 V/kerf와 imf가 동형이 되는 것은 벡터공간에서의 제1동형정리(first isomorphism theorem)라고 한다. 함수 f:R² → R³, f(x₁,x₂)＝(x₁,0,0)은 선형변환이고 imf＝{(x₁,0,0)x₁∈R}, kerf＝{(0,x₂x₂}이다. 벡터공간을 연구할 때 중요한 또 다른 개념으로서 1차독립, 생성, 기저, 차원 등이 있다. 선형변환은 행렬과 밀접한 관계가 있다.