체

요약 추상대수학(抽象代數學) 용어로 일반적으로 0으로 나누는 나눗셈을 제외한 사칙연산(四則演算)을 자유로이 할 수 있는 원소의 집합를 가리킨다.

유리수·실수 또는 유리식 사이에서는 사칙연산이 가능하며, 몇 개의 연산법칙이 성립한다. 일반적으로 0으로 나누는 을 제외한 사칙연산(四則演算)을 자유로이 할 수 있는 의 을 체라고 한다.

공리
대수학의 기본개념인 '사칙(덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈)'을 추상하여 다음과 같이 '체'를 정의한다. 집합 K의 임의의 두 원소 a,b(같아도 무방)에 대하여, 합이라 부르는 제3의 원소 a＋b를 대응시키는 덧셈과, 곱이라 부르는 제4의 원소 ab를 대응시키는 곱셈이 정의되고 다음 공리를 만족시킬 때, K를 체라고 한다.

⑴ K는 덧셈에 관하여 가환군(可換群:Abelian group)을 이룬다. 즉, ① 결합률:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c), ② 교환율:a＋b＝b＋a, ③ 특별한 원소 0이 존재하며, 모든 원소 a에 대하여 a＋0＝a, ④ 임의의 원소 a에 대하여 a＋b＝0인 원소 b가 단 1개 존재한다. 이것을 －a로 나타낸다.

⑵ K에서 0을 제외한 집합 K－{0}은 곱셈에 관하여 가환군을 이룬다. 즉, ① 결합률 (ab)c＝a(bc),② 교환율 ab＝ba, ③ 특별한 원소 1이 존재하며, 0이 아닌 모든 원소 a에 대하여 a·1＝a, ④ 임의의 0이 아닌 원소 a에 대하여 ab＝1인 b가 단 1개 존재한다. 이것을 a의 역원(逆元)이라 하고, a^-1로 나타낸다.
⑶ 덧셈에 대한 곱셈의 분배율이 성립한다. 즉, a(b＋c)＝ab＋ac이다.

보기

유리수 전체, 실수 전체, 복소수 전체, 유리식 전체 등은 모두 체이고, 정수 전체는 체가 아니다. 특히 가환(可換)인 경우는 가환체라고 하며, 단순히 체라고 하면 가환체를 가리키는 경우가 많다. 체의 공리에서 곱셈의 교환율을 제외한 공리를 만족시키는 것을 비가환체 또는 사체(斜體)라 한다. 또, 4원수체(四元數體)가 있다.