극값

요약 함수의 극댓값과 극솟값.

함수의 극댓값과 극솟값을 합하여 일컫는 말이다. 함수가 어떤 점에서 그 부근에서 가장 큰 함숫값을 가질 때 극댓값이라 하고, 반대로 그 부근에서 가장 작은 함숫값을 가질 때 극솟값이라 한다. 다음과 같은 함수의 그래프를 살펴보자.

점 A는 극댓값을 갖는 지점이고 점 B는 극솟값을 갖는 지점이다. 색칠한 부분은 해당하는 점의 ‘부근’을 대략적으로 표시한 것인데, 실제로 점 A 부근(근처)에서 점 A가 가장 큰 값을 가지고, 점 B 부근(근처)에서는 점 B가 가장 작은 값을 가지는 것을 볼 수 있다. 또한 극댓값을 가지는 점을 극대점이라 하고 극솟값을 가지는 점을 극소점이라 하며 극대점과 극소점을 통틀어 극점이라 한다.

다항함수의 극값

일반적으로 이차함수는 포물선 그래프의 꼭짓점에서 극값을 갖는다. 아래 그림에서 C는 극솟값을 가리키는 극소점, D는 극댓값을 가리키는 극대점이다.

 

삼차함수의 그래프에서는 그래프가 증가하다가 감소하는 지점에서 극댓값을 가지고(점 E, H), 감소하다가 증가하는 지점에서 극솟값을 가진다.(점 F, G)

그렇다고 삼차함수가 반드시 극값을 가지는 것은 아니다. f(x)=x³과 같은 함수의 그래프를 보면 극댓값이나 극솟값을 가지는 지점을 찾을 수 없다.

미분계수와 극값

다항함수 또는 미분가능한 함수 f(x)에서 극값을 가지는 점들은 그 점에서의 미분계수가 0이다. 즉 x=a에서 극값을 가지면 f'(a)=0이다. 미분계수가 0이라는 것은 그 점에서의 함수의 그래프의 접선의 기울기가 0이라는 의미이다.

극댓값의 경우 극대점 부근에서 가장 큰 함숫값을 갖는데, 극댓점 왼쪽에서는 극댓점을 향해 함수가 증가하고 극댓점에서 가장 큰 값을 가지며 극댓점을 지나 오른쪽으로 가면 함숫값이 감소하는 양상을 보인다. 증가함수는 접선의 기울기가 0보다 크고 감소함수에서는 접선의 기울기가 0보다 작으므로 극대점을 기준으로 왼쪽에서는 미분계수가 0보다 작고(f'(x)<0) 오른쪽으로는 미분계수가 0보다 크게 된다.(f'(x)>0)

반대로 극솟값의 경우 극소점 부근에서 가장 작은 함숫값을 가지며, 극소점을 기준으로 왼쪽 부근에서는 함숫값이 감소하며 f'(x)<0이고 오른쪽 부근에서는 함숫값이 증가하며 f'(x)>0이 된다.

하지만 역으로 한 점 x=a에서의 미분계수 f'(a)=0이라고 해서 f(a)가 극값이라고는 장담할 수 없다. f(x)=x³과 같이 오로지 증가하기만 하는 함수도 잠시 증가가 주춤하는 구간에서 접선의 기울기가 0이 될 수 있기 때문이다. 해당하는 점의 좌우 부근에서의 미분계수의 부호가 양수에서 음수로, 또는 음수에서 양수로 변해야 극점이라고 할 수 있다.

미분가능성과 극값

미분계수를 통해 극값을 판별할 수도 있고 미분가능한 함수는 극값을 가질 때의 미분계수를 쉽게 알 수도 있지만, 당연히 미분가능한 함수에서만 극값이 존재하는 것은 아니다. 다음과 같은 함수는 뾰족한 점(첨점)인 점 A,B에서는 미분이 불가능한 함수이다. 그러나 점 A의 부근에서 함수가 가장 작은 값을 가지므로 극솟값을 가지고 점 B의 부근에서는 함수가 가장 큰 값을 가지므로 극댓값을 가진다.

심지어 불연속함수여도 극값은 가질 수 있다. 다음과 같이 x=0에서 불연속인 함수 f(x)의 예를 살펴보자. 함수의 그래프가 x=0에서 잘려지듯 불연속을 이루고 함숫값도 함수 그래프와 연결되어 있지 않다. 그러나 f(0) 부근에서 f(0)이 가장 큰 값을 갖는 점이므로 극댓값이다. 그러므로 함수의 미분가능성이나 연속성만으로는 극값의 존재 여부를 판단할 수 없으므로 주의해야 한다.

최대최소와 극값

그렇다면 최댓값과 극댓값, 최솟값과 극솟값은 어떻게 다를까? 최댓값·최솟값은 함수가 정의된 구간 전체에서 가장 크거나 가장 작은 값을 말하지만 극댓값·극솟값은 해당하는 점의 부근에서 가장 크거나 가장 작은 값을 의미한다.

-3≤x≤4에서 정의된 함수 g(x)의 그래프가 다음과 같다고 하자. g(x)는 x=-3에서 최댓값 4를 가지고 x=4에서 최솟값 -1을 가지는 함수이다. 그리고 x=-1에서 극솟값 1을 가지고 x=2에서 극댓값 2를 가진다. 이것은 (최댓값)>(극댓값), (최솟값)<(극솟값)의 경우라 할 수 있다. 그런데 엄밀히 말하면 x=-3의 부근에서 g(-3)이 가장 큰 값을 가지므로 x=-3 역시 극댓점이고 x=4의 부근에서는 g(4)가 가장 작은 값을 가지므로 x=4 역시 극솟점이라 할 수 있다. 즉 이 경우에는 (최댓값)=(극댓값), (최솟값)=(극솟값)이 된다.

최댓값은 어떤 극댓값보다도 크거나 같고, 최솟값 또한 어떤 극솟값보다도 작거나 같게 된다.

또한 최댓값은 항상 최솟값보다 크지만 극댓값이 항상 극솟값보다 크다고 할 수는 없다. 극솟값이 극댓값보다 클 수도 있다. 다음과 같은 함수 h(x)의 그래프를 살펴보면, 극댓값을 갖는 점 P에서의 함숫값보다 극솟값을 가지는 점 S, 점 U에서의 함숫값이 더 크다는 것을 알 수 있다.