삼차함수

요약 3개의 미지수를 포함한 함수이다. 일반형은 a,b,c,d를 상수로 한 f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a≠0)이다. 주요 성질은 인변곡점, 극댓값, 극솟값을 갖는 것이다.

a,b,c,d를 상수로 한 f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a≠0)인 꼴의 함수를 의미한다. 가장 간단한 삼차함수는 f(x)＝x³이다. 삼차함수의 일반론에 대해서 고찰할 때에는 적당히 변형하여 y＝x³＋3px²＋3qx＋r인 꼴로 하여 생각하는 것이 편리하다.

삼차함수의 중요한 성질로서는 다음과 같은 것을 들 수 있다.
① 삼차함수 y＝x³＋3px²＋3qx＋r의 그래프는 점 (－p, 2p³－3pq＋r)을 중심으로 하여 대칭이며, 대칭의 중심은 변곡점이다.

② 대칭의 중심이 원점이 되도록 평행이동하면, 이동 후의 방정식은 y＝x³＋3ix의 꼴이 된다.
③ 삼차함수 y＝x3＋3αx에서 α＜0이면, x＝- √-α 에서 극대, 극댓값은 －2α√-α, 또 x＝√-α 에서 극소, 극솟값은 2α√ , a≥0 이면 극값을 갖지 않는다.



④ 삼차함수 y＝ax³＋bx²＋cx＋d는

a＞0 이면 x → +∞ 일 때, y → +∞
          x → -∞ 일 때, y → -∞

a＜0 이면 x → +∞ 일 때, y → -∞
          x → -∞ 일 때, y → +∞

로 된다.