극대·극소

요약 수학용어. 임의의 점 xo에서 함수 f(xo ) 값이 그 주위의 모든 f(x)의 값보다 클 때 f(x o)는 극대, 작을 때의 f(xo )는 극소라고 한다.

함수 f(x)의 x=x_o 에서의 값 f(x_o )이 그것에 충분히 가까운 모든 점에서의 f(x)의 값보다 클 때 f(x _o)는 극대, 작을 때 f(x_o )는 극소이다. 이때의 f(x _o)의 값을 극대값(극소값)이라 한다. x가 증가하면서 x _o을 지날 때 f(x)가 증가에서 감소로 변하면 f(x_o )은 극대이고, f(x)가 감소에서 증가로 변하면 f(x_o )은 극소이다.

따라서 극소가 극대보다 클 수도 있다. f(x)가 미분가능이고, 그 도함수(導函數) f'(x)의 값이 x=x_o 의 전후에서 극대이면 f'(x)의 부호는 ＋에서 －로 변하고, 극소일 때는 －에서 +로 변한다. 따라서 f'(x)=0 이 된다.

이것을 이용하면 극대·극소를 구할 수 있다. 2변수의 함수 z=f(x,y)는 곡면으로 나타낼 수 있으며, 그 곡면에서 모자의 꼭대기처럼 된 점이 극대, 사발의 밑바닥처럼 된 점이 극소이다.