도함수

요약 함수 y=f(x)을 미분하여 얻은 함수 f'(x)를 말한다. 일반적으로 f(x)의 미계수 또는 미분계수라고도 한다.

x의 함수로 본 것을 도함수라고 하고 f'(x)로 나타낸다. 함수 y=f(x)의 도함수는 f'(x) 이외에

등으로 나타낼 수 있다. 접선의 기울기를 구하고자 할 때 많이 사용한다.

변화율

함수 f(x)에서 x의 값이 a에서 a+Δx까지 변할 때, 즉 x가 어떤 값 a에서 Δx만큼 미소한 변화를 할 때, y가 Δy만큼 변화한다고 하면 이 변화량의 비 Δy/Δx를 구간 ［a, a+Δx］에서의 평균변화율이라 하고, Δx가 한없이 0에 가까워질 때 Δy/Δx가 유한확정인 극한값을 가지면 이것을 f'(a)로 나타내고, 함수 f(x)의 x=a에서의 변화율 또는 미분계수라고 한다. 즉,




이다. f'(a) 대신 y'_x=a 또는 ［dy/dx］_x=a로도 나타낸다. 또, Δy=f(a+Δx)－f(a)이므로, 이 식은





로도 나타낸다.

변화율의 기하학적 의미

[그림]에서 P'를 x=a인 점, Q'를 x=a+Δx인 점이라고 하면, P'Q'=Δx이다. 또 f(a)=PP',f(a+Δx)=QQ', Δy=QS이며, Δy/Δx=QS/P'Q'=QS/PS로서, 이것은 직각삼각형 PQS의 빗면 PQ의 기울기를 나타낸다. 이것이 평균변화율이다. Δx→ 0이면 Q' → P'(x축 위), Q → P(곡선 위)이므로, 현 PQ가 P점에서의 접선 PT에 한없이 가까워지고, 비의 값 Δy/Δx의 극한은 접선과 x축이 이루는 각 θ의 탄젠트, 즉 tan θ의 값이 된다.

여기서 함수 f(x)의 x=a에서의 변화율 f'(a)는 x좌표가 a인 점에서의 접선 PT의 기울기를 나타낸다. 따라서, f(a)+Δx·f'(a)는 [그림]의 RQ'의 길이이며 QQ', 즉 f(a+Δx)에 가까워진다. 미분계수의 실제의 예는 많이 있으며, 속도나 가속도 등은 결국 운동을 나타내는 식의 미분계수이다. 또, 미분계수는 x의 값에 따라([그림]에서의 P의 위치에 따라) 바뀌게 되므로 x, 즉 a의 변화에 따라 변화한다.

【도함수의 정의】 a를 변수 x로 하여 앞의 미분계수를 구하면,





이며, f'(x)를 함수 f(x)의 도함수라고 하고, 여기서 x의 값 a를 대입한 f'(a)는 점 a에서의 미분계수이다. 기하학적인 의미로 볼 때, 도함수 f'(x)는 임의의 점에서의 접선의 기울기이다. 도함수 f'(x)는 또 x의 함수이므로 f'(x)의 도함수를 f″(x)로 나타내고, f(x)의 제2계 도함수라 한다.

마찬가지로 f(x)가 n회 미분가능일 때, 그것에 따라 얻은 결과를 f(x)의 제n계 도함수라 하고, dⁿy/dxⁿy⁽ⁿ⁾, dⁿf(x)/dxⁿ,f⁽ⁿ⁾(x) 등으로 나타낸다. f'(x), f″(x)는 각각 n=1, n=2인 경우에 해당되며, n≥2일 때의 제n계 도함수를 총칭하여 고계(高階) 도함수라 한다. 또, f(x)에서 도함수 f'(x)를 구하는 것을 f(x)를 x에 관해서 미분한다고 하며, 그 계산법을 미분법이라 한다.