게이지이론

요약 어떤 장의 영향을 받는 입자가 미시적인 범위 안에서 운동하고 있을 때 그 운동상태를 기술하는 슈뢰딩거 파동방정식이 게이지불변이도록 하는 이론이다. 물리학에서 가장 기본적인 이론 중 하나이다.

1915년에 아인슈타인이 일반 상대성이론을 발표한 직후 독일의 수학자 헤르만 바일이 게이지대칭을 도입했다, 바일은 그것을 이용해서 아인슈타인의 중력장 이론과 맥스웰의 전자기장 이론을 통합하려는 시도를 했다. 측량막대를 지정하면 그 길이는 일정하게 유지되는 것으로 가정할 수 있다. 그러나 측량막대를 이동시킬 때 그 길이의 변화 가능성를 고려해서 바일은 그것을 국소적(한곳) 게이지 변화라고 불렀다. 도처에서 동일한 변화는 전체적 게이지 변화라고 불렀다.

맥스웰의 전자기 이론에도 이런 성질이 있다. 이것이 어떻게 발생하는지를 이해하기 위해서, 각각 다른 전기적 퍼텐셜(전위)을 갖는 양전하와 음전하가 제멋대로 돌아다니고 있다고 가정하면, 그들 각각에 50V를 더해도 전체적인 변화는 없다. 임의의 두 전하 사이의 차이는 같기 때문이다. 이것이 전체적 변화이다. 그러나 각각에 다른 퍼텐셜을 취해주면 국소적 변화가 일어난다. 이것은 그 변화와 관련된 전기장이 국소적 게이지 불변성을 만족시키지 않는다는 의미이다. 좀더 상세히 살펴보면, 움직이는 전기전하가 자기장을 생성하는데, 자기 퍼텐셜이라는 것이 이들 장과 관련되어 그 변화를 정확히 상쇄한다. 그 결과는 전기장과 자기장이 결합된 장인 전자기장은 게이지불변이다. 전자기장과 양자전기동역학은 모두 국소적 게이지불변이다.

이처럼 전기장이나 자기장은 이들을 나타내는 퍼텐셜을 적당하게 변화시킬 때 변하지 않는다. 이러한 퍼텐셜의 변환을 게이지변환이라고 한다. 전기장 ·자기장이 전하와 전류에 의하여 어떻게 변하는가를 다루는 맥스웰방정식은 게이지변환에 아무런 영향을 받지 않는다.

미시적 공간에서 입자는 파동성을 가진다. 전자기장에 있는 입자를 기술할 때, 이러한 입자의 운동을 기술하는 슈뢰딩거의 파동방정식도 파동함수와 장을 나타내는 퍼텐셜을 동시에 변환시켜서 방정식의 모양을 변하지 않게 할 수 있다. 반대로 어떠한 장의 영향을 받는 입자를 기술할 때 방정식을 이러한 게이지변환에 불변하도록 만들어야 한다. 이러한 원리를 게이지이론이라 한다.

이렇게 도입된 퍼텐셜은 전자기장이 입자에 미치는 힘이 어떻게 입자에 작용하는가를 기술해준다. 양자화된 퍼텐셜은 게이지입자(광자 ·글루온 등)를 나타내므로 전자기장을 생각할 때는 광자가 입자와 어떻게 상호작용하는가를 알려준다. 전자기적 상호작용뿐만 아니라 강한상호작용, 약한상호작용 및 중력의 작용에서도 게이지이론을 도입함으로써 게이지입자들이 어떻게 상호작용하는지를 알 수 있다. 게이지이론은 물리학에서 가장 근본적인 이론이라고 할 수 있다.