거리공간
[ metric space , 距離空間 ]
- 요약
위상공간(位相空間)의 한 개념으로, 집합 S에서 임의의 두 원소 a,b에 일의적으로 대응하는 실수 ρ(a,b)가 거리함수가 될때, S를 거리공간이라 한다. 유클리드공간·힐베르트공간·프레셰의 공간등이 그 예이다.
집합론에서의 위상적 방법의 하나로서, 수렴개념(收斂槪念)과 함께 M.프레셰에 의해 채택되었다. 일반적으로 집합 S에서, 임의의 두 원소 a,b에 대하여 실수 ρ(a,b)가 일의적으로 대응하고,
① ρ(a,b)≥0, 특히 a=b의 경우에 한하여
ρ(a,b)=0
② ρ(a,b)=ρ(b,a)
③ 임의의 3원소 a,b,c에 대하여
ρ(a,c)≤ρ(a,b)+ρ(b,c)
가 성립될 때, ρ를 거리함수, S를 거리공간이라 한다. 유클리드공간·힐베르트공간·프레셰의 공간등이 그 예이다. 거리공간에서는 점렬(點列)의 수렴, 집적점(集積點) 등 위상적 개념이 정의된다.