위상공간

요약 위상이 정의된 공간을 말한다.

해석학상의 위상공간이란 위상(位相)이 정의된 공간이다. 즉, 하나의 추상공간에 극한이라든지 연속 등의 개념을 나타내는 구조가 주어졌을 때, 이 구조를 위상이라 하고, 위상이 정의되어 있는 공간을 위상공간이라고 한다.

알기 쉬운 설명

우리가 흔히 생각할 수 있는 가장 익숙한 수학적 공간은 거리공간이다. 거리공간은 두 점 사이의 거리를 기반으로 하는 공간인데, 같은 점 사이의 거리는 0이라거나 점 A와 점 B의 거리가 점 B와 점 A의 거리와 그 값이 같다거나 삼각부등식이 적용되는 공간이다. 이는 구체적인 예시들이 눈에 쉽게 보이는 매우 일반적이고 상식적인 공간의 개념이라 할 수 있다.

여기서 이 거리공간의 개념을 더 일반화시켜서, 그리고 거리 등의 특정 개념을 없애고 순수하게 수학적 공간의 아주 기본적인 원칙만을 제시하는 것이 바로 위상공간이다. 수학에서 말하는 많은 종류의 공간 개념들이 이 위상공간의 특수한 예들이라 할 수 있다.

개념

위상공간에서는 위상이 정의되어 있어야 한다. 즉 위상공간은 위상이 정의된 공간이다. 위상의 정의를 살펴보기 전에 아래와 같은 집합 X와 T를 생각해보자.

X={1,2,3}
T={∅, {1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}}

집합 T는 X의 부분집합인 공집합 ∅, {1}, {2}, {1,2}, 그리고 자기 자신인 전체집합 X={1,2,3}을 원소로 갖는 집합이다. 이 집합 T의 특징을 살펴보면 다음과 같다.

1) T는 공집합 ∅와 전체집합 X를 포함하고 있다.
2) 만약 T의 원소 중에 어떤 원소를 합집합시켜도 그 결과는 결국 T의 원소이다. 예를 들어, 다음과 같이 어떤 임의의 원소들을 아무리 여러 개 합집합시켜도 그 결과는 다시 T에 속하게 된다.

∅∪{1}={1}∈T
{1}∪{2}={1,2}∈T
{1}∪{1,2,3}={1,2,3}∈T
{1}∪{2}∪{1,2}={1,2}∈T

3) T의 원소 중에 두 원소를 교집합시켜도, 그 결과는 결국 T의 원소이다. 예를 들어, {1}∩{2}=∅∈T 이고 {1,2}∩{1,2,3}={1,2}∈T, {1}∩{1,2}={1}∈T 이다. 이러한 집합 T를 X에 대한 위상이라고 하고, (X,T)를 위상공간이라 한다. 이렇듯 위상공간은 부분집합과 전체집합을 포함해야 하는 점과 합집합, 교집합에 관한 조건 외에는 다른 조건이 없는 매우 기본적인 공간 개념이다.

위상의 정의

위상에 대한 정의는 다음과 같다. X는 집합이고 T는 X의 부분집합들의 집합이다. T가 다음 조건을 만족할 때 위상이라 불린다.

1) 공집합과 전체집합 X가 T에 속해 있다.
2) T의 원소들끼리 임의의 합집합을 만들어도 여전히 T에 속한다.
3) T의 원소들 중 유한 개를 교집합 해도 T의 원소이다.

T가 X에 대한 위상이면 (X,T)를 위상공간이라 한다. 또한 T의 각 원소들을 열린집합(open set)이라 한다. 위상의 정의에 따르면 집합 Y={1,2,3}, T={∅,{1},{2},{3},{1,2,3}}인 (Y,T)가 위상공간이 될 수 있을까? 우선 T는 공집합과 전체집합 Y를 포함하고 있다. 그러나 T의 두 원소 {1}과 {2}의 합집합인 {1}∪{2}={1,2}는 T에서 찾아볼 수 없다. 그러므로 이때의 (Y,T)는 위상공간이라고 할 수 없다.

이산위상과 비이산위상

이산위상(Discrete Topology)은 주어진 집합 X의 모든 부분집합을 원소로 가지는 위상으로, 주어진 집합이 가질 수 있는 가장 큰(원소의 갯수가 많은) 위상이다. 예를 들어 X={1,2,3}일 때, T={∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}는 X의 모든 부분집합을 원소로 가지고 있다. 또한 위상의 모든 정의를 만족한다.

비이산위상(Indiscrete Topology)은 공집합과 전체집합 X만을 포함하고 있는 위상이다. 즉 X가 주어진 집합일 때, 비이산위상은 T={∅,X}이다. 이 위상 T는 위상의 모든 정의를 만족하며 주어진 집합이 가질 수 있는 가장 작은 크기의 위상이다.