선형대수 증명 질문입니다!

odd permutation을 직접적으로 하나 설정합시다.

위와 같이 Sn의 모든 permutation에 대해,

직전에 특정한 odd permutation을 곱한 것을 원소로 삼는 집합 Sn' 을 정의합시다.

은 반드시 성립합니다.

permutation에 permutation을 취해봤자 permutaion입니다. Sn을 벗어나지 않습니다.

도 성립합니다.

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따라서

이 성립합니다.

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도 반드시 성립합니다.

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기호를 조금 다듬겠습니다.

여기서

이 사실을 쓰면

이 성립하므로

종합하여

이 되어

이라는 결론이 나옵니다.

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Sn 에 k개의 odd permutation이 있었다고 가정해봅시다.

그럼 even permutation은 (n!-k)개 존재합니다.

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Sn' 은 Sn에 특정한 odd permutation을 곱하여 정의되었습니다.

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odd 에 odd 를 곱하면 even 이 나오고

even 에 odd 를 곱하면 odd 가 나옵니다.

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즉, Sn' 에는 (n!-k)개의 odd permutation이 존재하게 되고

k개의 even permutation이 존재하게 됩니다.

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그런데 Sn이랑 Sn' 이랑 똑같다고 했습니다.

k = n!-k 입니다.

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따라서, Sn에는 동일한 수의 odd permutation과 even permutation이 존재합니다.

A_n을 even permutation들의 집합이라고 하고 아무 transposition (a,b)를 고정하면

A_n의 각 원소에 (a,b)를 합성하면 odd permutation이 됨.

이때 A_n의 서로 다른 원소 x,y에 대하여 (a,b)*x=(a,b)*y이면 양변에 (a,b)를 한번 더 합성시켜서 x=y를 얻으므로 두 permutation이 같을 수 없음. 또한 임의의 odd permutation s에 대해서 s=(a,b)*x인 even permutation x가 존재함 (x=(a,b)*s로 잡으면 됨)

따라서 이 map이 bijection이고 따라서 even permutation과 odd permutation의 개수가 같음.