해석학

해석학

그 이후로 해석학의 분야들인 무한급수, 변분법, 미분방정식, 푸리에 해석학, 복소수해석학, 벡터 및 텐서 해석학, 함수해석학 등이 발달했다.

수학의 다른 분야는 해석학에서 나온 개념들, 특히 미분기하학·집합론·위상수학 들의 영향을 많이 받는다. 미적분학의 발달에 의해 뒤이어 일어나는 수학사에 중대한 여러 개념들이 소개되었다. 함수의 특성(특히 최대값·최소값, 평면과 3차원 영역의 면적과 부피)을 계산하는 새로운 기술로 전에 어려웠던 많은 문제들을 정해진 방법에 따라 구할 수 있게 되었다.

무한히 근접한 근사값(극한값) 개념과 일반방정식의 해에서 이와 연관된, 임의로 근접한 근사값의 방법도 소개되었다. 또 중요한 무한급수(어떤 양이나 함수를 점점 더 작아지는 증분의 끝없는 연속의 합으로 표현)의 개념도 있다. 뉴턴과 그의 제자들은 이 과정을 통해 유한 다항식 계산으로부터 발달해온 옛 기술을 더 일반적인 수학 관계식으로 진전시킬 수 있음을 알았다.

베르누이가(家)사람들과 오일러 등 뉴턴과 라이프니츠를 이은 계승자들은 내용과 접근법을 명시하여 미적분학 기술을 확대했고 그뒤 이것은 미적분학의 표준이 되었다. 특히 오일러는 삼각함수·로그함수·지수함수를 무한급수를 통해 조사하여 그들 사이에 많은 관계식을 세웠다. 그와 베르누이가 사람들은 뉴턴의 기술을 전체 곡선이나 곡면에 의존하는 양으로도 확대해 소위 변분법을 창안했다. 이 연구와 뉴턴이 물리운동 연구를 위해 사용한 미분법은 미분방정식(하나 이상의 변수를 갖는 함수와 그 미분 사이의 관계)에 대한 관심을 낳았다.

초기 해석학자들은 이미 알려진 함수들을 유한으로 결합하거나 최악의 경우 무한급수로 표현해 미분방정식의 해를 구했다. 그러나 18세기말 이런 종류의 명백한 해를 갖지 않는 중요한 문제들이 있음을 알았다. 이에 함수의 특정한 형태보다는 일반 특성의 유도를 강조하여 해석학 연구를 질적으로 변화시키게 되었고 여러 변수를 갖는 함수의 미적분학이 공간의 곡선과 곡면 연구에서 유용했다. C.F. 가우스는 기하문제에 미분학을 응용해 미분기하학을 만들었다.

19세기초 J.-B.-J. 푸리에는 임의의 함수는 사인과 코사인의 무한급수로 나타낼 수 있음을 보였고 이 급수는 3차원 공간에서 벡터의 표현과 유사하다. 이러한 관련성이 20세기 함수해석학 발달에 박차를 가했다.

A.-L. 코시와 다른 수학자들은 미적분학을 복소수함수에 적용했다. 코시는 복소수변수 함수가 도함수를 가지면 주어진 한 점에서의 함수값은 다른 점들에서의 함수값들의 적분(코시 적분)으로 표현됨을 보였다. 코시의 연구는 리만의 연구에서 강조된 것처럼 궁극적으로 위상수학 분석과 관련이 지어졌으나. 위상수학은 1세기 뒤에야 충분히 연구하게 되었다.

19세기에 코시와 R. 데데킨트, G. 칸토어의 연구로 논리의 정밀성과 해석학 기초에 대한 비판적인 연구가 발달했다.

그결과 연속 개념을 더 근본적인 집합이론의 개념으로 엄밀히 분석하게 되었고 앞의 2세기 동안 이루어놓은 해석학의 전체구조는 이런 원리들로 튼튼한 기초를 이룰 수 있다고 인식하게 되었다. 벡터 기하학과 함수집합 특성들 사이에 유사점들을 연구하는 것이 20세기 해석학의 주된 주제가 되었다. D. 힐베르트는 적분을 동반하는 특정 종류의 방정식과 여러 변수의 대수방정식 선형체계 사이의 밀접한 관계를 강조했다.

H. 바일은 힐베르트의 방법으로 간단한 미분방정식 연구를 통해 중요한 급수전개를 유도할 수 있다고 했다. J. 폰 노이만과 S. 바나흐는 함수해석학이라는 이 새로운 장(場)을 체계 있게 전개해 많은 원리와 방법에 세련되고 추상적인 공식들을 제공했다. 함수해석학으로 물리학과 공학에 중요한 편미분방정식의 해를 더 깊이 이해할 수 있게 되었고 대수학·해석학·위상수학 사이의 관계를 알게 되었다.